梁　波,高　馨,汪　颖,彭曦霆

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028)



一类具线性扩散作用的退化抛物方程解的存在性

梁波*,高馨,汪颖,彭曦霆

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028)

摘要：研究一类具线性扩散作用的退化抛物方程解的存在性问题.在初边值满足一定条件时，利用时间离散化并构造极小元泛函的方法，结合庞开来不等式和杨不等式，获得离散问题的存在性.其次,通过构造此退化抛物方程的逼近解,获得逼近解的一致性估计，进而保证收敛性结果,最后证得弱解的存在性.

关键词：退化抛物方程; 弱解; 存在性

0引言

主要研究如下具有线性扩散项的四阶退化抛物方程初边值问题：

(1)

v=Δv=0,x∈∂Ω,t>0

(2)

v=(x,0)=v0(x),x∈Ω

(3)

定义1若一个函数v满足如下条件：

(c)在L2(Ω)中，v(x,0)=v0(x),

称v为问题(1～3)的弱解.

为了叙述方便，这里假设k=1,当k≠1时，使用相同的证明方法.同时，文中的符号C始终表示一般的常数，不同的位置值可能不同.本文主要结论如下：

下面将分成两部分来给出定理1中弱解存在性的证明，第一部分考虑半离散问题弱解的存在性，第二部给出逼近解的收敛极限.

1离散化问题

(4)

vk+1|∂Ω=0

(5)

其中k=0,1,…,N-1,v0是初始值函数.存在性如下：

满足：

(6)

注：这里我们称满足(6)的函数vk+1为(4～5)的弱解.

证明为符号方便，此证明过程中，以v表示vk+1.文献〔3〕中，采用压缩映像原理，证明弱解的存在性.而本文参考文献〔4〕中的极小元泛函方法，定义泛函如下

由于J(v)中第二项、第三项非负及庞开来不等式、杨不等式，可以得到

此外，我们有

‖vk‖W2,p(Ω)≤C‖Δvk‖Lp(Ω)≤C

故存在函数v使得

2逼近解极限

关于一……