张燕艳

(南通理工学院 基础课教学部，江苏 南通 226002)



一类特殊函数不定积分与反常积分的求解

张燕艳

(南通理工学院 基础课教学部，江苏 南通 226002)

摘要：给出真分式不定积分的几个公式，利用带余除法和待定系数法将分式有理函数拆分为多项式与几个真分式之和，再结合真分式不定积分公式，求出有理函数的不定积分.有理函数的反常积分，可结合复变函数留数理论较方便地求出结果.

关键词：有理函数;不定积分;反常积分;留数

在数学分析中，有理函数的不定积分和定积分是一个重点和难点.有理函数的积分在实际应用中经常遇到，有些无理函数、三角函数等其他类型的函数，通过代换也可以化成有理函数的积分.有理函数的反常积分，用一般方法很难解决或几乎无能为力，但是如果能结合复变函数理论来解决，就能达到化难为易、化繁为简的效果.

1概念

有理函数是特殊的亚纯函数，是用加减乘除四则运算将多项式连接起来而得到的函数.一个有理函数h可以写成如下形式：h=f/g，这里f和g都是多项式函数，即具有如下形式，

2不定积分的解法

有理函数的不定积分形式即为

任意多项式Qm(x)在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积，即

Qm(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm=

b0(x-α1)λ1(x-α2)λ2…(x-αi)λi(x2+β1x+γ1)μ1(x2+β2x+γ2)μ2…(x2+βjx+γj)μj=

其中，A11,A12,…Aiλi,B11,B12,…Bjμj,C11,C12,…Cjμj均为待定系数.

3反常积分的解法

对一般有理函数定积分的求解，结合上述有理函数原函数的求法，并利用Newton-Leibniz公式

可以得到有效解决.而有理函数的反常积分用上述方法则难以解决……