肖玲莉, 邱本花,赵　冰

(1.郑州科技学院 基础教学部，河南 郑州 450064; 2.中州大学 信息工程学院，河南 郑州 45000)



随机代数Riccati方程的向后误差分析

肖玲莉1, 邱本花1,赵冰2

(1.郑州科技学院 基础教学部，河南 郑州 450064; 2.中州大学 信息工程学院，河南 郑州 45000)

摘要：利用矩阵Kronecker 积的性质和不动点定理，研究了随机代数Riccati方程的向后误差问题，给出了矩阵方程向后误差的上界和下界，并利用隐函数定理，得出了向后误差的一阶近似估计，最后用数值算例验证了结果的精确性.

关键词：随机代数Riccati方程；向后误差；Kronecker 积；不动点定理

0引言

在现代控制理论和其他工程领域，特别是在线性二次型最优控制系统、线性最优滤波系统的分析、综合和设计中,Riccati方程都起着非常关键的作用[1-5].对一般代数Riccati方程向后误差的研究已有大量文献[6-8]，但对随机代数Riccati方程向后误差的研究极少.本文主要对随机代数Riccati方程进行分析，估算出了该方程极大解的向后误差的上下界.

考虑随机代数Riccati方程(SARE):

ATX+XA+CTXC-(XB+CTXD)(R+DTXD)-1(BTX+DTXC)+Q=0，

(1)

其中R+DTXD>0，A,B,C,D,R,Q是常数矩阵，A,C∈Rn×n,B,D∈Rn×m，R∈Sm，Q∈Sn.

(2)

其中

定义方程的向后误差为

(3)

其中Ax，Bx，Cx，Dx，Qx，Rx是大于0的参数.

vec(XT)=∏vec(X),EYF=P⟺(FT⊗E)vec(Y)=vec(P).

1.1方程(2)的等价形式

方程(2)等价于

(4)

再利用矩阵关系式

(I+M-1N)-1=I-M-1(I+NM-1)-1N=I-(M+N)-1N,

(M+N)-1NM-1=M-1N(M+N)-1.

得

FTGF+(S+GF)T(R+DTXD+G)-1(S+GF).

(5)

由于

结合(5)式，方程(4)可等价变形为

(S+GF)T(R+DTXD+G)-1(S+GF)=-E,

即

FTΔRF+ΔQ-(S+GF)T(R+DTXD+G)-1(S+GF)=-E.

(6)

其中

方程(6)等价于

L+LTΔC+FTΔDTL+LTΔDF+FTΔRF+ΔQ=-E+ћ(ΔX),

(7)

其中

由引理1知， 方程(7)可以写成如下的非线性形式

T·g=-vecE+vec (ћ(ΔX)),

(8)

记

T=(AxT1,BxT2,CxT3,DxT4,QxT5,RxT6),

T3=I⊗LT+(LT⊗I)∏,T4=FT⊗LT+(LT⊗FT)∏,

T5=I⊗I,T6=FT⊗FT.

(9)

由(9)式中T的表达式可知T是行满秩矩阵， 故矩阵T存在广义逆， 即存在T†满足T†T=TT†=I.

考虑方程

g=T†[-vecE+vec (ћ(ΔX))],

(10)

显然满足(10)的g也一定满足方程(7). 因此， 若存在一个g*=

对(7)式两边取范数得

(11)

其中ρ，t定义如下

(12)

由于

(13)

且

‖S+GF‖≤ ‖ΔBTX+ΔDTL+ΔRF+DTXΔC+DTXΔDF‖+‖ΔDTXΔC‖+‖ΔDTXΔDF‖≤

r3‖g‖+r4‖g‖2,

(15)

其中

记

将(14)和(15)式代入(13)式， 得

结……