时统业，韦晓萍，王　斌

(1.海军指挥学院 信息系，江苏 南京 211800；2.海军蚌埠士官学校 航海系，安徽 蚌埠 233012)



与HA-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式相关的两个函数

时统业1，韦晓萍1，王斌2

(1.海军指挥学院 信息系，江苏 南京 211800；2.海军蚌埠士官学校 航海系，安徽 蚌埠 233012)

摘要：构造了一个积分形式的单调增加的凸函数，利用它得到HA-凸函数Hermite-Hadamard型不等式的加细，并由此生成两个具有单调性的二元函数．从而又获得了关于HA-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式的新的加细．

关键词：HA-凸函数;凸函数；准线性；单调性；Hermite-Hadamard型不等式

1背景知识

在文献[1-3]中，王良成利用凸函数的单侧导数的性质证明与凸函数相关的函数的单调性和准线性．受此启发，文献[4]利用GA-凸函数单侧导数的性质研究了与GA-凸函数相关的函数的单调性和准线性.文献[5-6]引入HA-凸函数的概念，文献[7]研究了HA-凸函数的单侧导数的存在性和单调性，本文仍然利用单侧导数研究与HA-凸函数有关的函数．

定义1[5-6]设f(x)是定义在区间I⊆(0，+∞)上的正值函数，若对任意x1，x2∈I和任意t∈[0，1]，f(x)满足

(1)

则称f(x)为区间I上的HA-凸函数．若不等式(1)中的不等式反向，则称f(x)为区间I上的HA-凹函数．

为证明主要结论，需要下面关于HA-凸函数单侧导数的性质，还要利用单侧导数判定函数单调性的依据，以及HA-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式．

引理1[7]设f：[a，b]⊆(0，+∞)→(0，+∞)为HA-凸(凹)函数，x，y∈(a，b)，则

1)f在(a，b)内任意点处的单侧导数存在，且f在(a，b)上除至多只有可数个点外，处处可导；

引理3设f：[a，b]⊂(0，∞)→(0，∞)是连续的HA-凸函数，则

2主要结果及其证明

定理1设f：[a，b]⊂(0，∞)→(0，∞)是连续的HA-凸函数，则对任意x，y∈[a，b]，x

那么

1)H(a，b；t)是[-1，1]上的下凸函数；……