曹向东/编译



完美数：极具挑战的数学难题

曹向东/编译

今年1月7日，美国数学家库珀通过参与一个名为“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目，找到了目前人类已知的最大完美数——2^74207280（2^74207281-1）。它是第49个完美数，长达44 677 235位；如果用普通字号将它连续打印下来，其长度可达200公里！这一数论研究新成果的问世也使“完美数”这一数学概念走进公众视野。美国布朗大学曹向东博士特为本刊发来此稿，对人类探索完美数的历程及其科学意义、实用价值等作了详尽和深入浅出的介绍。

公元前三世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》第九章中首次给出了寻找完美数2^（P-1）（2^P-1）的方法，被誉为欧几里得定理；由此开创了研究2^P-1型素数的先河

完美数又称“完全数”、“完备数”或“完满数”，是一种特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。

完美数的由来

古希腊学者对数字情有独钟。他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数（如最小的一对亲和数220和284）；而有的真因数之和居然等于自身，于是发现了完美数（如最小的一个完美数6）。公元前4世纪，古希腊哲学家柏拉图在其所著的《理想国》一书中首先提出了完美数的概念。但在公元前6世纪，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯及其学派就已经开始探究完美数了。

毕达哥拉斯曾经说过：“6象征着完美的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。……