潘　雪,　秦　梅

(上海理工大学 理学院,上海　200093)



首尾差r-循环矩阵的判别方法及逆和广义逆的快速算法

潘雪,秦梅

(上海理工大学 理学院,上海200093)

摘要：提出了一种新的循环矩阵,称之为首尾差r-循环矩阵(简记为FLDcircr矩阵).验证了它的线性运算、矩阵乘积、逆矩阵等仍为FLDcircr矩阵.通过构造基本FLDcircr矩阵,给出FLDcircr矩阵的判别方法及逆和广义逆的快速算法.

关键词：FLDcircr矩阵; 判别法; 对角化; 逆; 广义逆

循环矩阵是矩阵论的重要组成部分,它的特殊结构和性质被广泛应用于应用数学、计算数学及现代工程等领域[1-6],并且不断有新的循环矩阵被提出[7-11].基于上述研究,本文首先给出了FLDcircr矩阵和基本FLDcircr矩阵的概念以及它们的和、差、乘积、逆矩阵和伴随矩阵的性质,然后通过构造基本FLDcircr矩阵,给出了FLDcircr矩阵的5种判别方法,并讨论它的对角化和奇异性,最后给出它的逆和广义逆的快速算法及数值例子[12-13].在本文中,矩阵都是在复数域中讨论的.

1预备知识

定义1对于n阶方阵A,若A具有形状

则称A为n阶FLDcircr矩阵,记作A=FLDcircr(a0,a1,…,an-1)定义2称n阶方阵

为基本FLDcircr矩阵.

D的特征多项式为g(x)=xn+rx-r,且Dn=r(In-D),规定D0=In.

由FLDcircr矩阵的定义易证命题1.

命题1如果A和B都是FLDcircr矩阵,则A+B,A-B以及kA(k为任意常数)都是FLDcircr矩阵.

定义4[14]设A∈Cn×n,如果存在X∈Cn×n,使得AXA=A,XAX=X同时成立,则称X是A的自反广义逆,记为A{1,2}.

2FLDcircr矩阵的判别法

定理1A是FLDcircr矩阵当且仅当A有如下形式

(1)

证明由定义1及定义2可证定理1.

定理2A是FLDcircr矩阵当且仅当AD=DA,其中,D为基本FLDcircr矩阵.

证明必要性.因为,A是FLDcircr矩阵,所以,由A和D的定义可得AD=DA.

充分性.由待定系数法可设

由AD=DA可知

以……