黄　晨,　贾　高,　黄利娜

(上海理工大学 理学院,上海　200093)



具超线性增长非线性项的拟线性椭圆型方程共振问题

黄晨,贾高,黄利娜

(上海理工大学 理学院,上海200093)

摘要：在非线性项具有超线性增长条件下,研究了拟线性椭圆型方程的共振问题.通过建立拟线性算子与线性算子的一种关系,依据Shapiro在加权Sobolev空间中建立的紧嵌入定理和推广的Brouwer定理,运用截断方法证明了近似方程的解存在;借助Sobolev理论、Fatou引理和Lebesgue控制收敛定理证明了上述近似解一致有界;利用投影技巧和Galerkin方法得到共振问题的非平凡解的存在性.

关键词：加权Sobolev空间; 拟线性椭圆型方程; 超线性增长

1问题的提出

在现实生活中,共振现象是常见的.在工程技术中,人们利用或者试图避免共振现象的发生.关于椭圆型方程共振问题有较多的研究,并取得了一系列重要成果[1-8].

1981年Berestycki等[1]用强极大值原理讨论了Dirichlet问题

弱解的存在性.其中，Δ是Laplacian算子，λ1是Laplacian算子的第一特征值，u-是函数u的负部.

弱解的存在性,T是线性算子.

(1)

非平凡解的存在性.其中,算子

非线性项f(x,u)具有超线性增长.

本文所讨论的理论模型来源于研究飞机、汽车、电站的设计和建造，以及环境污染分析等实际背景[3,5].

2假设与引理

设Ω是RN中的有界区域,设Γ⊂∂Ω是一个闭集(可能为空集),pi(x),q(x),ρ(x)∈C0(Ω)是权函数,其中,q(x)是非负的,记p(x)=(p1(x),p2(x),…,pN(x))为向量函数.

考虑准希尔伯特空间

(3)

记

(4)

线性算子

拟线性算子M的二形式分别为

定义1如果满足下面的条件a-e,称区域Ω和算子L满足Simple-VL条件.

且在Ω上,φ1>0;

c.Ω=Ω1×Ω2×…×ΩN,其中,Ωi⊂R,i=1,2,…,N,是开区域;

其中……