向　玲,鄢小安,陈　涛（华北电力大学机械工程系，河北　保定071003）



基于PolyMAX方法的悬臂梁振动模态分析

向玲,鄢小安,陈涛
（华北电力大学机械工程系，河北保定071003）

摘要：为分析某悬臂梁的振动模态，根据锤击法模态测试流程，利用PolyMAX方法对悬臂梁的传递函数进行模态参数估计和识别。利用有限元软件和欧拉梁理论仿真并计算该悬臂梁前五阶固有频率和振型。结果表明：对悬臂梁的实验分析结果和理论值、仿真值吻合良好，说明锤击法的模态实验可靠，为以后分析相似结构的模态提供参考。

关键词：锤击法；悬臂梁；模态分析；振型

河北省自然科学基金项目（E2013502226）

0 引　言

模态分析是为识别系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据，在工程振动领域中有重要应用价值[1]。目前，Niels Saabye Ottosen等[2]讨论了锤击法对地基板和梁进行模态分析中遇到的常见问题。周云等[3]在其基础上利用PloyMAX方法对弹性地基板进行了实验模态分析，为地基参数识别和损失诊断提供了手段。刘军等[4]利用自主开发的试验模态分析系统对某跑车车身进行了模态分析，对试验模态的改进具有推动作用。根据文献[5]可知利用Euler梁模型的固有特性可以在一定程度上模拟和反映汽轮机叶片的固有特性。因此，研究悬臂梁结构的模态分析有重要意义。鉴于此特殊功能的关系，本文利用锤击实验中的PloyMAX法对某悬臂梁进行了模态分析，为反映实验的准确性，用ANSYS软件仿真了悬臂梁模型，并利用传递矩阵法对悬臂梁进行了理论计算。

1 LMS Test.Lab中PloyMAX振动模态分析

1.1 LMS中的PloyMAX模态识别方法

LMS公司最新推出LMS Test.Lab中的PolyMAX模态识别方法，也称为多参考点最小二乘复频域法。起初该方法只用来导出迭代法极大似然估计的最优初值，这种估计也称为公分母传递函数模型。LSCF法超越其他参数估计技术最突出的优点是它可以得出非常清晰的稳态图，多参考法的主要好处是SVD这一步骤能避免分解留数，密集空间可以分离出来。

其识别步骤与当前作为工业标准的最小二乘复指数法（LSCE）很相似：

1）建立稳态图，以判定真实的模态频率、阻尼和参预因子；其通过建立可以线性化的直交矩阵分式模型：

2）基于正则方程消去系数β0以缩减最小二乘问题：

由此得到压缩了的正则方程：

其余的分母多项式系数可通过求解下列最小二乘问题来得出：

图1 集总传递函数稳态图

它对模态重叠较严重的高阶和大阻尼系统，或者综合频响函数（FRF）数据受到严重的噪声污染情况，都能给出清晰的稳态图，因此可以识别高密度密集模态。该方法进行传递函数的模态分析非常流行。

1.2 PloyMAX法对悬臂梁振动模态分析

对Euler悬臂梁进行模态分析，梁的横截面为圆截面，长度l=800 mm，直径d=10 mm，将悬臂梁分为10段，每段80mm，测试过程中，采用逐步移位的多点激励单点响应法。拾振器使用一个加速度传感器，固定于点3，激励点从点1到点10逐步移动，当激励1点（激励信号）时，可测得一个响应信号，依次类推，可得多个响应，根据响应可求出固有频率，而实验中对每个响应信号进行多次平均，得到综合频响函数（FRF），然后通过LMS Test.Lab中模态分析系统对频响函数进行模态参数估计。

锤击法模态测试及分析流程[6]：

1）通道设置（Channel setup）。选择Use Geometry来导入几何建模中的Node name（几何节点名称Node 1～10），用来覆盖通道设置中Point列中点的名字，分别对应着悬臂梁的10个等间隔节点。然后将10节点连线，就建立了悬臂梁模型。

2）锤击示波（Impact scope）。

3）锤击设置（Impact setup），包括触发级设置、带宽设置、加窗设置、驱动点设置等。

4）测量（Measure）。

5）数据验证（Validate）。

按照上述步骤进行3次重复实验，获取较好的频响函数（FRF）后，使用PloyMAX方法分析得到集总传递函数稳态图如图1所示。选择图1中5个表现比较稳定的S点标识，其中S点标识表示在这个位置出现了模态，然后利用PloyMAX方法对5个S点进行模态识别，即可得到相应的五阶振型和固有频率。得到的悬臂梁前五阶固有频率分别为10.980，67.720，190.319，372.229，614.474Hz，模态振型如图2所示。

图2 悬臂梁前五阶振型图

2 基于ANSYS的有限元计算模型

ANSYS分析选用了solid 20 node 186实体单元悬臂梁[7]，梁的横截面为圆截面，长度l=800 mm，直径d=10mm，弹性模量E=2.0×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3。按照上述悬臂梁参数，利用ANSYS对悬臂梁振动频率进行求解，得到前五阶频率分别为11.060，69.278，193.830，379.030，626.180Hz。限于篇幅，只给出前3阶模态振型，如图3所示。

3 基于梁振动理论的数值计算模型

3.1 建立欧拉伯努利梁模型

梁数值计算模型与上述ANSYS仿真模型选择相同的参数，由于所选的悬臂梁质量较轻，横向振动时转动惯量较小。另外，在分析前五阶振型时，整个梁仅被节点平面分成有限的几段，此时产生的剪切变形是可以忽略的。所以先不考虑梁剪切变形和转动惯量的影响，只考虑其弯曲变形，可利用传递矩阵法建立欧拉-伯努利梁力学分析模型。

建立欧拉-伯努利悬臂梁横向自由振动微分方程[8-9]为

式中：EI——梁的抗弯刚度；

m——线质量密度，即m=ρA。

令y（x，t）=Y（x）eiωt，代入式（5）得：

其通解为

定义两端点的状态矢量为Z1，0和Z1，2，则总传递方程为

其中U为总传递矩阵。

边界条件：

图3 悬臂梁前三阶振型图

得特征方程：

步骤4：列车处理接收到信息，识别周围的列车，判定自身是否处于危险状态，如果不处于危险状态，则判定周期是否结束；如果周期未结束，则判定本周期中本车是否已经发送过信息；如果发送过信息，列车则将失败计数清零并继续接收信息，否则计算列车的优先级并判断是否为高优先级。如果列车是高优先级，则在下一个DZ到来时直接竞争资源。接着判定是否正处在限制竞争时期，如果不处于限制竞争时期或者限制时间已经结束，则开始下一个DZ的流程。如果周期结束，则进入下一个周期。

即

则固有频率为

3.2 模型求解

结合Matlab软件求解上述超越方程，并将梁的材料参数E，I等数值代入固有频率方程，得到的结果如表1所示。

表1 固有频率计算结果

利用Matlab软件的plot命令画出悬臂梁前二阶振型，如图4所示。

图4 悬臂梁前二阶振型图

4 计算结果比较分析

ANSYS仿真值、理论计算解析值和锤击法实验值的结果对比如表2所示。

表2 计算值、仿真值与实验值对比

将上述悬臂梁理论解析值和前面各模型计算或分析值对比，并利用Matlab做成散点连线图，见图5。可以明显看出3种方法计算的结果拟合良好，误差较小。

图5 固有频率散点连线图

5 结束语

1）本文对悬臂梁结构模型进行了多点激励、单点响应的模态实验，利用LMS Test. Lab软件中PolyMAX方法对悬臂梁的传递函数进行了模态参数估计和识别，并利用欧拉梁理论和有限元仿真模型测定了悬臂梁的低阶固有频率。通过3种结果的比较，可以看到三者具有很好的吻合性，证明该实验方法是成功的，为进行其他相似结构类型的模态分析提供了参考。

2）从本实验也可以看出振动物体的约束对物体固有频率有较大影响，在进行模态分析时应多注意。

参考文献

[1]黄捷，季忠，段虎明，等.机械结构实验模态分析及典型应用[J].中国测试，2010，36（2）：4-8.

[2] NIELS S O，MATTI R，ALLEN G. Theoretical interpre tation of impulse response tests of embedded concrete structures[J]. Journal of Engineering Mechanics，2004，130（9）：1062-1071.

[3]周云，易伟建.用Poly MAX方法进行弹性地基板的实验模态分析[J].振动与冲击，2007（7）：139-144.

[4]刘军，高建立，穆桂脂，等.改进锤击法试验模态分析技术的研究[J].振动与冲击，2009（3）：174-177.

[5]晏水平，黄树红，韩守木.利用Euler梁模型计算汽轮机叶片静频和动频的传递矩阵法[J].中国电机工程学报，2000（6）：69-71.

[6]周勇军，贺拴海，宋一凡，等.基于锤击法的弯连续刚构模型桥动力试验[J].振动、测试与诊断，2007（3）：212-215.

[7]张朝晖.ANSYS11.0结构分析工程应用实例解析[M].2版.北京：机械工业出版社，2008：121-125.

[8]芮筱亭，何斌，王国平，等.多体系统传递矩阵法及其应用[M].北京：科学出版社，2008：73-79.

[9]杜永峰，彭健平，李慧，等.利用Matlab和锤击法的线性结构阻尼试验[J].兰州理工大学学报，2005（6）：115-118.

（编辑：刘杨）

Vibration modal analysis of cantilevered beam based on PloyMAX method

XIANG Ling，YAN Xiaoan，CHEN Tao
（School of Mechanical Engineering，North China Electric Power University，Baoding 071003，China）

Abstract:In order to analyze the vibration modes of a cantilever beam，the PolyMAX method of software LMS Test. Lab is used to estimate and identify the modal parameters in the transfer functions of the cantilever beam according to the testing process of hammering method. Finite element software and Euler beam theory are used to simulate and calculate the first 5-order natural frequency and modal shape of the cantilever beam. The analytical results agree well with the theoretical value and the simulation value. This indicates that the modal experiment with hammering method is successful and can provide a reference for later model analysis of similar structures.

Keywords:hammer exciting method；cantilevered beams；modal analysis；modal shape

文献标志码：A

文章编号：1674-5124（2016）04-0132-04

doi：10.11857/j.issn.1674-5124.2016.04.028

收稿日期：2015-05-15；收到修改稿日期：2015-07-29

基金项目：国家自然科学基金项目（11072078）

作者简介：向玲（1971-），女，湖北随州市人，教授，博士，研究方向为机械状态检测与故障诊断。