晋　娜， 魏毅强

(太原理工大学 数学学院， 山西 太原 030024)



不同压缩比 Sierpinski 垫的 Hausdorff 测度和维数

晋娜， 魏毅强

(太原理工大学 数学学院， 山西 太原 030024)

摘要:系统讨论了改变压缩比c时 Sierpinski-垫片的 Hausdorff 维数与测度的变化. 对于不同范围的c分别运用不同的方法讨论了它们的 Hausdorff 测度与维数. 压缩比时, 通过投影与构造质量分布, 将计算康托集测度的过程与计算 Sierpinski-垫测度的过程结合起来, 计算出此时S的测度的具体值, 并且该值为 1. 当压缩比在到之间时, 首次系统讨论了此时S的重叠结构问题, 得到了S具有完全重叠结构时c的取值. 同时，S不具有重叠结构时, 有S的维数具体值为.

关键词:压缩比； Sierpinski-垫； Hausdorff 维数与测度

在分形中, 测度与维数的估计和计算是十分重要也是非常困难的, 目前为止, 除了少数特殊分形的测度与维数被计算出来外(如均匀康托集[1]), 大部分分形的测度与维数的计算仍然是需要解决的难题， 尤其是对于满足开集条件的自相似集, 它们的Hausdorff维数与它的自相似维数相等, 但是对于它们测度的计算却没有行之有效的方法. 很多文献都对此做过有益讨论[2-15]， 尤其是作为三个经典自相似集之一的Sierpinski-垫片, 很多文献对于它的测度进行了研究[8-15], 尤其是文献[8], [10]和[11]给出了目前测度最好的上下界以及计算机的实现程序.

1基本构造与命题

在 Euclid 平面R2上取一个单位正三角形, 记作 S0. 对 S0做压缩映射 f1, f2, f3, 即对 S0中的任意点(x,y)， 令

上述过程无限进行下去, 得到

定义 1[16](开集条件)设 S1,S2,…,Sm是 {D⊂Rn} 的压缩映射, 使

对每个……