张晋芳， 杨　晋， 任艳萍

(太原理工大学 数学学院， 山西 太原 030024)



关于四元数体上某类矩阵方程的极小范数最小二乘解

张晋芳， 杨晋， 任艳萍

(太原理工大学 数学学院， 山西 太原 030024)

摘要:对四元数体上某类自共轭矩阵方程， 在两两可交换的前提下， 研究了矩阵方程的极小 Frobenius 范数最小二乘解. 同时， 在有解条件下给出了通解的表达形式．利用四元数体上自共轭矩阵奇异值分解的充分必要条件， 运用四元数体上 Frobenius 范数正交矩阵乘积不变性， 讨论了某类矩阵方程的最小二乘解， 给出了极小 Frobenius 范数最小二乘解及其通解的表达形式， 进而推广到了更为一般的矩阵方程.

关键词:四元数体； 矩阵方程； 奇异值分解； 最小二乘解； 极小范数

0引言

近 40 多年来， 矩阵方程的研究方兴未艾， 对它们的研究除了在理论上有重要意义外， 还对力学、 控制论、 理论物理、 理论电工技术、 遥感技术等各种领域有重要作用．考虑到四元数和四元数矩阵的广泛应用， 对四元数矩阵方程理论及数值计算的研究就显得尤为重要， 其中四元数矩阵的奇异值分解是核心内容. 如文献[1]给出了四元数矩阵上的奇异值分解. 文献[2-6]利用四元数矩阵的奇异值分解得到了一些结论.

1预备知识

用 Ω 表示四元数体； Ωm×n表示全体m×n四元数矩阵的集合； Sn(Ω) 表示四元数体 Ω 上全体 n×n 自共轭矩阵的集合； SSn(Ω) 表示四元数体 Ω 上全体 n×n 反自共轭矩阵的集合； UΩn×n表示四元数酉矩阵的集合； ‖·‖ 表示矩阵的 Frobenius 范数， 且这里的“范数”指的是矩阵……