胡传峰， 姬　秀

(长江大学 文理学院， 湖北 荆州 434000)



一类偏微分方程的解的Bernstein性质

胡传峰， 姬秀

(长江大学 文理学院， 湖北 荆州 434000)

摘要:在局部严格凸的超曲面M上定义了α-相对度量Gα.研究了关于Gα完备且α-Ricci 曲率有下界-N的超曲面M. 利用活动标架法及J-C-P定理,证明了当ρ满足一个四阶偏微分方程时,M一定是椭圆抛物面.

关键词:Bernstein性质; 相对极值超曲面; 偏微分方程； Euler-Lagrange方程

1引言及主要结果

设y:M→An+1是一个局部严格凸的超曲面, 由定义在一个凸域Ω⊂An上的严格凸函数xn+1=f(x1,x2,…,xn)给出.设

若Y=(Y1,…,Yn+1) 是M上的转移向量场且对任意点y∈M有dY∈TyM, 则称Y是M的相对法场.尤其, 当Y=(0,…,0,1)时,M上的余法场U和相对黎曼度量G可分别定义为

G也被称为Calabi度量. 记

李安民院士首先研究了M上由Uα=ραU诱导的相对法场. 在文献[1]中此相对法场被称作α相对法场, 后来在文献[2-4]中也被称作李法场. 相应于李法场,M上的度量是[1]

度量Gα也被称作李度量或α-度量.关于这一课题的研究已有较大的进展[5-11].

命题 1[12]关于α-度量体积变分问题的Euler-Lagrange方程是

(1)

若一光滑严格凸函数f 满足式(1), 则我们称超曲面M={(x,f(x))}为α-相对极值超曲面. 相对于Calabi度量, 式(1)可写为

(2)

定理 1[13]设y:M→An+1是由严格凸函数xn+1=f(x1,x2,…,xn)给出的局部强凸α-相对极值超曲面, 且关于α度量完备,则存在正常数K(n). 当 |α|>K(n)时,M是椭圆抛物面.

本文研究满足下面四阶偏微分方程的超曲面

(3)

式中：h:R+→R.

注记定理2是定理1的推广.

2预备知识

设f(x1,…,xn)是定义在凸域Ω⊂An上的局部严格凸函数, 考虑超曲面

对M选取古典相对法场Y=(0,0,…,1). 则Calabi度量G=∑fijdxidxj是相对于Y的相对度量. 对位置向量y=(x1,…,xn, f(x1,…,xn))有

(4)

余法场

张量Aijk和Weingarten张量……