江苏省江阴市利港中学八（7）班　王兴标



我心中的一次函数

江苏省江阴市利港中学八（7）班王兴标

函数的神奇和神秘之处，就在于和我们往常接触的数学知识不同.

1.它不同于计算，工工整整，顺理成章，简单易懂；

2.它不同于几何，有复杂多变的图形.

函数是一个抽象化的概念，打个比喻，函数如同一张大网，为什么这么说呢？请看下题——设直线l1：y1=k1x+b1与l2：y2=k2x+ b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线.

（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A（3，0）、B（2，7）、C（0，7），P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式.

图1

图2

图3

【解析】第一问不难，画图正确，很明显可以发现①③是点C的直角线.此题主要难在第二问.首先要求直线l1与l2的解析式，就要先确定它的位置，如图2所示，在图中，可以发现有多个直角三角形，由此可以联想到勾股定理，观察图形，要求点P的坐标，由于点P在线段OC上运动，所以点P位置不确定，我们不妨采用“未知设元”，即设OP=x，则很明显CP=OC-OP=7-x，这里因为点A（3，0）、B（2，7），所以OA=3，BC=2，在Rt△OAP中，马上想到勾股定理，可得AP2=OA2+OP2，所以AP2=9+x2，同理在Rt△CBP中，由勾股定理得：BP2= 4+（7-x）2，题目中又已知l1与l2是点P的直角线，根据直角线的定义可以知道l1⊥l2，即AP⊥BP，马上想到通过Rt△APB的三边关系建立方程.这里还需要解决线段AB的长度，过点B作BD⊥AD，垂足为D（如图3所作），得D（2，0），即OD=2，进而得出AD =AO -OD =1，BD =CO =7，AB =.在Rt△APB中，由AB2=AP2+BP2，可转化为9+x2+4+（7-x）2=50.此方程最后化简为2x2-14x+12=0，这里很容易卡住——一元二次方程怎么解？我们没有学过啊！其实不然，还记得我们曾经学过的因式分解吗？对于方程的左边，我们进行十字相乘，得到（2x-2）（x-6）=0，故x=1或x=6.所以P（0，1）或（0，6）.当P点坐标为（0，1）时，直线l1的解析式为y=3x+1；……