赵 连 阔

(山西师范大学数学与计算机科学学院，山西 临汾 041004)

·研究简报·

解析函数空间上的有限秩加权复合算子

赵 连 阔

(山西师范大学数学与计算机科学学院，山西 临汾 041004)

[摘要]给出了解析函数再生核巴拿赫空间上有限秩加权复合算子的统一刻画.主要结论表明解析函数再生核巴拿赫空间上的有限秩加权复合算子或者是零算子或者是一秩算子.

[关键词]解析函数空间；加权复合算子；有限秩

1预备知识

设Ω是复空间CN中的域，h(Ω)表示Ω上解析函数全体构成的集合.记x为由Ω上解析函数构成的具有再生核的巴拿赫空间，且包含所有解析多项式.x具有再生核是指对任意w∈Ω，在点w的取值泛函有界，即存在x上的连续线性泛函δw使得δw(f)=f(w)，f∈x.熟知的单圆盘上的哈代空间，复平面上的Fock空间等都是再生核解析函数巴拿赫空间.关于再生核函数空间的基本知识参见文献[1-2].

设ψ∈h(Ω)，φ是Ω上的解析自映射，定义算子Cψ，φ:x→x如下：

(Cψ，φf)(z)=ψ(z)f(φ(z))，z∈Ω，f∈x.

则称Cψ，φ为x上的加权复合算子.加权复合算子是一类非常重要的具体算子，可看作是乘法算子和复合算子的结合，其基本问题是通过定义符号ψ和φ的函数性质来反映加权复合算子Cψ，φ的算子性质，如算子的有界性、紧性、可逆性等.各类函数空间上的加权复合算子已经得到广泛且深入的研究.[3-7]在函数空间上，加权复合算子与Toeplitz算子[8]、积分算子[9]一样重要.

2主要结论

定理1设ψ∈h(Ω)，ψ≠0，φ是Ω上的解析自映射.则Cψ，φ是x上的有限秩算子，当且仅当ψ∈x且存在b∈Ω使得φ(z)=b.换句话说，Cψ，φ是x上的非零有限秩……