谢玉霞, 刘　晶

(西安邮电大学 理学院, 陕西 西安 710121)

含三体相互作用XX模型的测量诱导非局域性

谢玉霞, 刘晶

(西安邮电大学 理学院, 陕西 西安 710121)

摘要:利用Bures距离测量诱导非局域性的概念研究含三体相互作用海森堡XX链的非局域性，讨论增强系统边界量子比特之间测量诱导非局域性的可调参数。对有限温度下的系统热平衡态，通过优化调节XZX+YZY或XZY-YZX型三体相互作用的强度和外加匀强磁场的强度，对应边界量子比特之间的Bures距离测量诱导非局域性得到有效提高。该结论可用于实现量子自旋系统的非局域性调控。

关键词:测量诱导非局域性；海森堡XX模型；三体相互作用

量子关联不仅是量子力学区别于经典物理的一个根本特性，同时也是重要的量子信息处理物理资源，在量子通信、量子计算和量子度量学等新兴量子技术中发挥着不可替代的作用，从而成为多年来人们持续关注的一个热点问题。对量子态的关联属性，可以从不同的角度来加以刻画和度量。截至目前，人们提出的比较有代表性的量子关联度量方案有非局域性、量子纠缠和量子失谐等[1-2]，它们分别从不同的侧面揭示了量子态的新奇性质，同时在量子信息处理任务中也有着不同的潜在应用。

非局域性刻画的是量子系统区别于经典物理系统的一种重要属性，例如考虑空间距离足够远的两体量子系统，对其一个子系的测量可以即刻影响另一个子系的状态。对非局域性的探讨始于爱因斯坦等人关于EPR佯缪的假想实验[3]，代表性的进展则是基于局域因变量理论提出的各类贝尔不等式[4]及其实验验证[5]，以及对贝尔不等式与量子纠缠关系的讨论[6-7]。它们不仅将非局域性问题的研究发展到了定量化的层面，更是将整个量子力学学科推进到了一个全新的高度。

除了基于贝尔不等式的非局域性，最近，骆顺龙等人又从信息学角度提出了测量诱导非局域性(measurement-inducednonlocality,MIN)的概念[8]。它基于测量引起量子态塌缩的量子力学基本原理，定义量子非局域性的大小为局域不变测量后系统整体量子态相对于测量前系统整体量子态的最大希尔伯特-施密特距离的平方。之后，人们又提出了基于双边投影测量的MIN度量方案[9]，但是它们并不满足局域操作下的单调性要求。为避免上述问题，人们对其进行了改进并证明了冯·纽曼熵[10]、迹距离和Bures距离[11]等可作为好的非局域性度量函数。对MIN与Unruh效应[12]、MIN的单配性[13]、束缚纠缠态的MIN[14]，以及开放系统中的MIN动力学演化问题[15-17]，人们也进行了仔细的研究。

本文将讨论包含三体相互作用时海森堡XX模型边界量子比特的非局域性，并主要关注XZX+YZY和XZY-YZX两种不同类型的三体相互作用对Bures距离MIN的影响，目的是找出最佳的系统参数，为实现该系统中非局域性的有效调控提供理论支撑。

1理论模型及MIN的计算

自旋链系统是凝聚态物理中研究较多的一个物理系统。作为实现量子计算的重要备选物理体系，近年来它也受到了量子信息学领域研究者的广泛关注。研究该类系统中的非局域特性及其调控问题具有理论和现实意义。

三体相互作用是存在于自旋链系统的一种重要相互作用，也可以通过光晶格系统来模拟实现[18]。近年来，三体相互作用对量子纠缠、量子失谐等的影响引起了人们极大的关注[19-20]。考虑含XZX+YZY和XZY-YZX两种不同类型三体相互作用的自旋-1/2海森堡XX模型，对应的系统哈密顿量可以写为

采用开边界条件，并具体考察有限温度下系统热平衡态对应的边界量子比特(即第1和第N个)之间Bures距离MIN对三体相互作用强度α和β的依赖关系。

对于给定的系统哈密顿量，若求得其能量本征值Ei和能量本征态|ψi〉(i=1,2,…,2N)，则系统的热平衡态可以写为

其中kB表示玻尔兹曼常数，T表示系统温度，Z则代表配分函数，其形式为

式中当T=0时默认取e-Ei/kBT=1，这意味着

e-Ei/kBT/Z=1/2N，

即在绝对零度时所有可能的态|ψi〉都以相同的概率出现。

有了系统热平衡态密度算子ρ之后，通过求解其约化密度算子

ρ1N=tr2,…,N-1ρ，

便可以计算其边界量子比特之间的非局域性。选择Bures距离MIN来度量非局域性的大小，它已被证明满足一般非局域性度量的全部性质，其定义为[11]

式中

NB(ρBell)=1。

对于约化密度算子ρA非兼并的情形，最优测量算子实际上对应ρA的谱分解，即

其中

σ=(σ1,σ2,σ3),x=(x1,x2,x3),

xi=tr(ρ σi) (i=1,2,3)。

对于ρA=IA/2兼并的情形，则Bures距离MIN的计算只能对所有可能的测量算子

进行最优化，式中u∈3表示三维空间中的单位矢量。具体进行数值计算时，在球坐标系中将其写为

u=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)。

其中参数θ∈[0,2π]，φ∈[0,π]。

2结果和讨论

讨论不同外加磁场下，Bures距离MIN对三体相互作用强度的依赖关系。数值结果表明NB(ρ1N)与J的正负无关，因此为了讨论方便，取J=1。

首先，考察XZX+YZY型三体相互作用对系统热平衡态Bures距离MIN的影响。不同磁场强度和不同量子比特数下NB(ρ1N)对三体相互作用强度α的依赖关系曲线如图1所示,其中系统参数kBT=0.5。当不加外磁场时，系统边界量子比特之间的Bures距离MIN随着α的增大先是逐渐增大，当α达到某一临界值αc1时，NB(ρ1N)达到其峰值，这里αc1随量子比特数的增加而单调的减小。当α>αc1时，对三量子比特和四量子比特情形，NB(ρ1N)随α的增大而逐渐的减小；而对于五量子比特和六量子比特情形，随着α的增大，NB(ρ1N)先在α=αc2处衰减为零，当α>αc2时，NB(ρ1N)再次增加并最终趋近于其稳态平衡值。值得注意的是，该平衡值要大于α=αc1时NB(ρ1N)的峰值。最后，当量子比特数N≥7时，随着三体相互作用强度的增大，NB(ρ1N)会出现多个峰值。

图1　NB(ρ1N)对XZX+YZY型三体

当给所考察的系统沿z轴方向加上匀强磁场后，其边界量子比特之间的Bures距离MIN对α的依赖关系会发生较大的变化。如图1所示，对三量子比特的特殊情形，NB(ρ1N)随α的增大而单调的增加，并最终趋向一稳态平衡值。而当量子比特数大于等于4时，随着三体相互作用强度的变大，NB(ρ1N)在定性上表现出和B=0时类似的行为。通过比较图1中的各条曲线，可以发现当给系统加上匀强外磁场时，虽然在三体相互作用较弱的区间内，其非局域性会有所减弱，但是随着α的增大，NB(ρ1N)会得到明显的提高，也即XZX+YZY型三体相互作用和外加磁场的最优结合，可以用来有效调控系统边界量子比特间测量诱导非局域性的大小。

再考察XZY-YZX型三体相互作用对系统边界量子比特非局域性大小的影响，数值模拟结果见图2，其中系统参数kBT=0.5。没有外磁场时，NB(ρ1N)表现出和XZX+YZY型三体相互作用情形完全不同的变化趋势。对一般量子比特数的热平衡态，在弱三体相互作用区间内，随着作用强度β的增大，NB(ρ1N)先是衰减至某一最小值，只不过对应的临界βc值并不再是量子比特数的单调函数。之后，随着β的进一步增大，除三量子比特情形NB(ρ1N)渐进的趋近于其稳态平衡值，对其他情形NB(ρ1N)会出现多个不同的峰值，但是幅度都不是很大。当三体相互作用的强度足够大时，对五、六和九量子比特的热平衡态，NB(ρ1N)会渐进的增大至其稳态平衡值，而对四、七和八量子比特情形，NB(ρ1N)则缓慢地衰减至其最小值。另外，通过比较不同数目量子比特的情形，还可以发现通过引入XZY-YZX型三体相互作用，NB(ρ1N)总是会得到某种程度的改善，当然不同数目量子比特态所需要的最佳三体相互作用强度是不同的。

图2　NB(ρ1N)对XZY-YZX型三体

若给系统加上沿z轴方向的匀强外磁场，则从图2可以发现，对应的Bures距离MIN转而表现出和含XZX+YZY型三体相互作用情形非常类似的变化趋势，即对三量子比特态，NB(ρ1N)随着β的增强而单调的递增至其稳态平衡值。对于一般数目量子比特态的情形，在XZY-YZX型三体相互作用较弱的区间内，引进外磁场还是会降低对应Bures距离MIN的值，但是当逐渐增大三体相互作用强度β的值时，NB(ρ1N)又会比没有外加磁场时变得更大，增大的幅度约为1.5倍。这意味着通过优化所加XZY-YZX型三体相互作用和外加匀强磁场的强度，对应的测量诱导非局域性仍可以得到较为明显的改善。

3结语

利用Bures距离MIN研究了含XZX+YZY和XZY-YZX两种不同类型三体相互作用海森堡XX模型的非局域性。通过对不同量子比特数和不同外加磁场强度下Bures距离MIN对三体相互作用强度依赖关系的分析，发现对有限温度的热平衡态，XZX+YZY型三体相互作用可用来有效提高系统边界量子比特之间的非局域性大小，若进一步给系统加上沿z轴方向的匀强磁场，则非局域性的提高会变得更加明显。对于XZY-YZX型的三体相互作用，虽然在作用强度较弱的区间内，边界量子比特之间的非局域性会有所减小，但是若适当增大三体相互作用的强度或通过和外加磁场的优化结合，对应的非局域性仍可以得到明显的增强。这些结果表明对于自旋链模型，三体相互作用可以作为一种有效的测量诱导非局域性调控手段。

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[责任编辑:瑞金]

Measurement-inducednonlocalityintheXXmodelwiththree-siteinteractions

XIEYuxia,LIUJing

(SchoolofScience,Xi’anUniversityofPostsandTelecommunications,Xi’an710121,China)

Abstract:Nonlocal properties of the Heisenberg XX model with three-site interactions is investigated by using the concept of Bures distance measurement-induced nonlocality (MIN), where more attention is paid on the identification of valid system parameters which can be used for enhancing nonlocality of the boundary qubits. For thermal states of the considered system at finite temperature, the Bures MIN can be enhanced evidently by optimizing strengths of the XZX+YZY or XZY-YZX type three-site interactions and the external magnetic fields. This finding provides a feasible way for tuning nonlocality in the quantum spin system.

Keywords:measurement-induced nonlocality, Heisenberg XX model, three-site interaction

doi:10.13682/j.issn.2095-6533.2016.03.016

收稿日期：2016-04-13

基金项目：陕西省自然科学基础研究计划资助项目(2014JM1008)

作者简介：谢玉霞(1980-)，女，硕士，助教，从事量子通信理论研究。E-mail: yuxia1124@163.com 刘晶(1980-)，女，硕士，讲师，研究方向为数值计算。E-mail: xingxin909@126.com

中图分类号：O431;TN918

文献标识码：A

文章编号：2095-6533(2016)03-0094-05