曾　鹏



“数与形”教学实践与反思

曾鹏

“数与形”是人教版六年级上册“数学广角”的内容，本单元“数学广角”的内容承载了数形结合、极限思想的教学，以两道习题为载体进行数学思想的渗透和教学。例1侧重在找规律的基础上，让学生归纳，结合正方形，初步体会数形结合的好处；例2侧重于通过画图来体会极限思想。依据教材的安排，教学都是从“以形助数”的角度展开的。那么，如何在教学中让学生理解“以数解形”，即从数的角度去揭示形的规律以及数形结合的好处呢？在一个课时中要渗透数形结合、极限等数学思想，会不会有“夹生饭”的现象出现？

带着这样的思考，我在教学中选择例1进行了教学设计，并从“以形助数”“以数解形”“数形结合”三个方面进行了教学实践，收到了较好的效果。

教学过程：

一、谈话导入，初步感受数与形

师：看到“数与形”这一课题，你有什么想说的吗？

生1：数学和形状有什么关系吗？

生2：是不是数学里面的形状问题？

生3：是不是讨论数学和形状的问题？

……

师：下面让我们带着自己的思考和好奇一起走进今天的数学课堂。

二、以核心问题引领，以形助数

师：从1开始，连续n个奇数相加的和是多少？（学生发出哇的声音）怎么会有这么大的反应？

生4：老师，有n个奇数，怎么算得出来。

师：你说的好像有道理。我们不妨换个角度思考，如果你来做，你希望n是几？

生5：我希望n是1，但算不出来。

生6：我希望n是2，1+3=4。

生7：我希望n是3，1+3+5=9。

生8：我希望n是4，1+3+5+7=16。

……

师：很好，我们先不急着往下算，看看这几个式子，你能发现点什么吗？

生9：我发现它们的和分别是1的平方、2的平方、3的平方、4的平方……

生10：我发现了每个式子的前面有几个连续的奇数，它们的和就是几的平方。

生11：我猜测：从1开始，连续n个奇数相加的和就是n的平方。

生12：老师，我还有一点疑问，前面这几个式子是有这样的规律，有没有更好的办法让我们弄清楚n为更大的数的时候，也是这样的规律？

师：你的问题太好了，你的意思是说有没有更加直观、清晰、明了的方法让我们看得更清楚，理解得更透彻，从1开始，连续n个奇数相加的和到底是多少？请同学们在抽屉里拿出正方形的纸片摆一摆，看你有什么发现。（学生动手操作，然后展示操作的结果）

生13：我们小组拼成了长方形，没有什么发现。

生14：我们小组拼成的是正方形，发现了：当n为1时，就是1个正方形；当n为2时，就是4个正方形；当n为3时，就是9个正方形；当n为4时，就是16个正方形；当n为5时，就是25个正方形。

生15：我们小组发现拼成图形的正方形总个数就是边长的个数乘边长的个数。

生16：我们发现：有几个奇数，拼成的大正方形的一边就有几个正方形，所以就是奇数的个数与个数相乘。

生17：我看明白了，n是1，1×1=1；n是2，1+3=2×2=4；n是3，1+3+5=3×3=9；n是4，1+3+5+7=4×4= 16；n是5，1+3+5+7+9=5×5=25。

师：同学们通过动手操作，确实发现了其中的奥妙。如果图中再加一个数，和是多少？

生18：下一个数就是11，和是6×6=36。

师：如果再往下呢？一直加到第n个奇数呢？

生19：接着加下去，它们的和是7的平方，8的平方，……，一直到n的平方。

图1

师：的确，从1开始，连续奇数相加的和就等于加数个数的平方。刚刚这道看似很难的题目，通过“以形助数”的方式，我们更加直观地发现了其中的奥秘。

三、运用结论，深化理解

利用课件出示：1+3+5+7=（）21+3+5+7+9+11+13=（）2（）+（）+（）+…=92

生20：第一题是4的平方，从1开始，连续4个奇数的和是4的平方。

生21：从1开始，连续7个奇数的和是7的平方。

生22：根据从1开始，连续9个奇数的和是9的平方。那前面9个连续的奇数的和就是1+3+5+7+9+11+13+15+17的和。

师：看来同学们都掌握得很好，下面我们加大难度了。（课件出示）

1+3+5+7+5+3+1=（）

1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+ 1=（）

生23：第一题可以看作是4的平方与3的平方相加，和是16+9=25；第二题可以看作是7的平方与6的平方相加，和是49+36=85。

四、以数解形，拓展思维

师：请大家在小组内讨论一下，这道题应该怎么做？（出示图2）

图2

生24：第一个图有1个；第二个图有1+2=3（个）；第三个图有1+2+3=6（个）；第四个图有1+2+3+4 =10（个）；按照这样的规律，第10个图形就是：1+2+3 +4+5+6+7+8+9+10=55（个）。

师：很好，大家通过思考，会用数来解形。我们再来算一算相邻之和，你有什么发现？

生25：1+3=4，就是2的平方；3+6=9，就是3的平方；6+10=16就是4的平方。我们可以把相邻的两个图形摆在同一个图中，就能发现其中的规律。

图3

师：你们的思考很深入，确实是这样。古希腊著名科学家毕达哥拉斯把像1，3，6，10，15，21…这样可以排成三角形的数称为三角形数（如图2）；把像1，4，9，16…这样的数称为正方形数。我们发现，把两个相邻的三角形数相加就是一个正方形数（如图3）。看来，当“形”比较难发现其中的奥秘时，我们不妨从“数”的角度来考虑——以数解形。

五、回顾与反思，体会数形结合的好处

师：回顾一下，我们以前的学习中是否也用到过数形结合的思想来解决问题？

生：分数乘法、分数除法、圆的面积计算公式推导、画线段图分析题目的数量关系式……（师相机出示图4）

图4

师：那你觉得用数形结合的方法对你解决问题有什么帮助呢？

生26：能帮助我们更加直观、清晰地理解题意，找到算法。

生27：能让我们更清楚地看懂题中的奥秘，帮助我们解决问题。

生28：能帮助我们更好地思考，更快、更准地发现隐藏的问题。

……

师：通过这堂课的学习以及刚刚的回顾，同学们进一步体会了数形结合的好处。华罗庚先生写过一首关于“数形结合”的诗：数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。其实，不仅数学题中，植物中也隐藏着很多“数与形”的知识，我们来欣赏下面的这些图片（如图5）。

图5

师：欣赏完这些美丽的图片，我们会发现其中有这样一个现象，这些花的花瓣都是按照螺旋形状排列的，且花瓣数是按：0，1，1，2，3，5，8…依次排列的。第三个数是前面两个数之和（如图6）。这就是非常有趣的斐波那契数列……

图6

教学反思：

作为数学广角的教学内容，“数与形”的知识着重向学生渗透数形结合的数学思想。教学中，如果以找规律的形式引导学生发现其中的数学规律，再观察图形中的规律进行教学的话，学生势必无法体会到数学结合这一数学思想的价值。此外，仅通过两个例题的教学，学生实际上很难深入体会学习数学思想的价值。因此，在教学中，笔者对教材进行了取舍，选取了例1，以三个层次展开教学。第一个层次是以形助数。课始，抛给学生一个大问题，然后倒逼着学生去思考、去尝试。发现几个数的规律之后，学生产生了疑问，但又难以直观地发现其中的规律。教师趁机引导学生用图形去摆，去说理，进而发现其中的规律。学生在这一动手操作的过程中，发现借助图形可以更加清晰、直观地分析数字中蕴含的规律。第二个层次是以数解形。三角形数中图形的个数，如果仅从“形”的角度去观察，学生很难发现其中的规律，特别是图形复杂时，要发现“形”的规律就更困难，于是教师引导学生从“数”的角度揭示“形”的规律，帮助学生辩证地思考数与形的问题，体会以数解形的好处。第三个层次是体会数形结合的价值。无论是以形助数还是以数解形，都是从单一的方面帮助学生体会。而回顾以往的学习中用到过数形结合，具体有什么好处，学生能够深入体会和感悟数形结合的价值。对三角形数、正方形数、斐波那契数列的介绍，既可以拓展学生的视野，也能够让学生深入体会数形结合的思想。

（作者单位：广东省中山市大布小学）