张 义（甘肃省张掖市第六中学，甘肃 张掖 734000）



线性方程组消元法与解的结构关系探讨

张 义
（甘肃省张掖市第六中学，甘肃 张掖 734000）

摘 要：二元一次方程组解的几何意义就是在平面直角坐标系中两条直线的交点。对于三元一次方程组，它的解的几何意义则是在三维笛卡尔坐标系中三个平面的交点。文章主要探讨消元法与解的结构间的关系。

关键词：线性方程；消元法；结构；关系探讨

记得上中学时，我的数学老师在黑板上写下一个四元一次方程组，正当我在演算纸上埋头苦算的时候，老师神秘地说：“我不用计算就可以一眼看出这个方程组无解。”当时我对老师的崇拜简直如滔滔江水般绵延不绝。

为什么我的老师能一眼看出这个方程组无解呢？老师的回答是当未知数的个数少于方程的个数时方程就无解，当未知数的个数多于方程的个数时方程无确定解。当时只是一知半解，现在就让我们一起来探寻消元法与解的结构之间的关系。

下面我们来看一道例题，以观察其基本规律。解：分别把方程组（2.1）的第一个方程的（-7）倍和（-5）倍加到第二个方程和第三个方程上，消去这两个方程中的未知量x1，

上面的第三个方程两边除以（-9），得

变换第二、三个方程，得

将上面的第二个方程的（6）倍加到第三个方程上，消去x2，得

这个阶梯型方程组（2.2）和原方程组（2.1）同解。

由（2.2）的最后一个方程可得x3=-2，再把x3=-2代入第二个方程得x2=5。最后，把x2=5，x3=-2代入第一个方程，解得x1=-3。

所以原方程的解为

在求解的过程中，对方程组进行初等变换，我们常说对线性方程组进行初等变换方程的解不变，所以其实消元法就是反复对方程组进行初等变换。

发现：在求解的过程中，我们只是对各方程的系数和常数项进行了计算，因此求解过程可以写得更简单一些。

线性方程组（2.1）可以用矩阵来表示：

此矩阵称为方程的增广矩阵。这时，对方程组（2.1） 进行初等变换，就相当于对（2.3） 的各行进行相应的变换，它们被称为矩阵的初等变换。

矩阵的初等行变换有三种：

1.以一个非零常数乘以矩阵的某一行；

2.把矩阵的某一行的常数倍加到另一行上；

3.互换矩阵两行的位置。

利用矩阵记号，上述例题的消元过程可以简单地写为：

最后一个阶梯型矩阵就对应着方程组中的（2.2），我们继续利用矩阵的初等行变换把上面的回代过程表示为：

由此可直接得到方程组（2.1）的解为：

可以看出消元法就是对线性方程组的增广矩阵作行的初等变换的过程。当然，不论线性方程组中未知量的个数与方程个数是否相同，都可以用上面的矩阵的初等变换来求解。

下面我们来看线性方程组的一般形式：

为了讨论（2.4）的解的情况，只需对其增广矩阵进行初等行变换。

我们不妨设A的前n列中任意一列的元素不全为零。否则，若对某个j（1≤j≤n），第j列元素aij全为零，则方程组（2.4）中不含未知量xj，我们只需求解余下的n-1个未知量的方程组了。所以，当a11，a21，…am1不全为零，那么利用初等变换3，可以设a11≠0。利用初等变换2，分别把第一行的倍加到第i行上 。于是（i=2，…，m）化为：

由后m-1行，右边的n列可以组成一个（m-1）*n矩阵，对此矩阵重复进行上述变换，直到A化为如下阶梯型矩阵为止：

以上就是用消元法解线性方程组的过程。先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0 ”（如果出现的话）去掉。如果剩下的方程中最后一个等式是零等于一个非零常数，则方程组无解，否则有解。在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数 等于未知量的个数，那么方程组有唯一解，如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数，那么方程有无穷多个解。

现在就可以解释我的老师当时为什么可以一眼看出那个式子为什么无解了，就是因为当时那个方程组中有两个式子简单地化简一下就可以推出零等于一个非零常数，直接可以推导出这个方程组无解。

参考文献：

［1］弓爱芳，郭明月.线性方程组各种解法的讨论与思考［J］.高等函授学报:自然科学版，2005（10）.

［2］刘从义.线性方程组的求解及其应用［J］.考试周刊，2013（1）.

［责任编辑 房晓伟］

Discussion on the Structural Relationship between the Elimination Method and the Solution of Linear Equations

ZHANG Yi
（Zhangye No.6 Middle School，Zhangye Gansu，734000，China）

Abstract:Geometric meaning of the solution of binary linear equation group is the intersection between two lines in the plane right-angle coordinate system.Geometric meaning of the solution of three-variable linear equation group is the intersecting point of the three planes in the three-dimensional Cartesian coordinate system.The paper discusses the relationship between elimination method and structure of solution.

Key words:linear equation； elimination method； structure； relationship discussion

中图分类号：G63

文献标识码：A

文章编号：1673-9132（2016）20-0233-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.20.128