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利用乘法功能与数学建模思想证明余弦定理

2016-06-06张文嘉

北极光 2016年4期
关键词:组数余弦定理直角三角形

张文嘉

几何中,余弦定理有很多证明方法,只要不触犯“禁止逻循环辑论证”规则,即为有效证明方法。这里是一种利用数的乘法功能与独立变量的组合数学建模思想,将“数”“形”结起来,证明余弦定理的方法。

一、利用数的乘法功能

做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

特别的,当m1=m2=m3=…=mn时。我们用字母t代替,即

m1=m2=m3=…=mn=t

则N=m1+m2+m3+…+mn=t×n

为了快速统计,逆用该公式,我们按一组t个进行分组,组数为n,整体统计结果N,我们可以用t×n代替评价。

我们如果按一组n个进行分组,组数为t,整体统计结果认为N,我们可以用n×t代替评价。

不难发现:t×n=n×t=N,n,t位置可以交换(我们称之谓服从交换律,地位平等)。乘法口诀本质上是建立“分组标准n,组数t”与加法结果N之间的因果关系。因此,乘法有乘法具有任意拆分后的整体量评价功能。

推而广之,我们忽略n,t的单位,抽象出无量纲的数的独立变量。n,t可以作为两个无量纲的数的独立变量,t×n可以评价任何事物特征的工具之一。

二、利用独立变量的组合数学建模思想提出合理假设

假设任何线段AB在垂直于某平面M(点A在平面内)的光的照射下,在其平面的M内影长|AB1|只与线段AB的长度|AB|、线段AB与平面M夹角n两个独立变量有关。设F(n)为 夹角n造影能力。

线段AB的长度|AB|、夹角n造影能力F(n)是影响“影长|AB1|的两个独立变量”。

于是,可以假设影长|AB1|=|AB|×F(n)+X X为常数。

根据生活经验,AB平行于光,在其平面的M内影长|AB1|=0,F(n)=0;

AB垂直于光,在其平面的M内影长|AB1|=AB,F(n)=1;

于是有,0=|AB|×0+X

则,X=0

|AB1|=|AB|×F(n)

三、考察三角形ABC,∠A、∠B、∠C的对边边长分别为a、b、c,顶点A、B、C到对边的高分别为AA1、B B 1、CC1,∠A、∠B、∠C在邻边上的造影能力分别为F(A)、F(B)、F(C)。

当造影在三角形ABC外部时,允许角造影能力F(A)、F(B)、F(C)取负值。三角形ABC位直角三角形时,允许角造影能力F(A)、F(B)、F(C)取零值。

求证:a2+ b2-c2=2ab cos C

a2+ c2-b2=2ac cos B

b2+ c2- a2=2bc cos A

观察(图一)锐角三角形ABC,(图二)钝角三角形ABC(∠B>90°),(图二)直角三角形ABC(∠B=90°)

当垂直光平行于高AA1时,则有,

a = b×F(C)+ c×F(B);---------------------①式

当垂直光平行于高BB 1时,则有,

b = a×F(C)+ c×F(A);----------------②式

当垂直光平行于AB边上的高CC1时,

c = b×F(A)+ a×F(B)-----------------③式

将①式、②式、③式两边分别同乘以a、b、c,则有

a2 = a× b×F(C)+ a×c×F(B) ---------------④式

b2 = a×b×F(C)+ b×c×F(A) ---------------⑤式

c2 = b×c×F(A)+ a×c×F(B) ---------------⑥式

将④式+⑤式-⑥式,消去F(A),F(B),则得:

a2+ b2-c2=2ab F(C)

同理,可得:

a2+ c2-b2=2ac F(B)

b2+ c2- a2=2bc F(A)

根据角的余弦值定义,并在直角三角形中验证,则有:

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