□张瀚文 吕 娜 隋佳辰

（大连民族大学理学院 辽宁 大连 116600）

一个(2+1)
——维非线性微分方程的精确解

□张瀚文 吕 娜 隋佳辰

（大连民族大学理学院 辽宁 大连 116600）

本文主要研究一个(2+1)——维非线性微分方程精确求解的问题。借助于符号计算软件Maple，分别利用Ricaati方程法，Exp函数法以及Tanh函数方法求得了一个非线性微分方程的精确解。

精确解；孤子理论；非线性微分方程

在非线性科学领域中的各种动态数学模型，往往可以归结为非线性微分方程。由于这些非线性微分方程能够合理地解释相关的自然现象和性质，因而一直备受数学家和物理学家的青睐。目前非线性微分方程被广泛应用于自然科学的各个领域，包括流体力学、海洋冲击波、非线性光学、离子体物理、分子生物学等等，所以对于非线性微分方程的研究无疑将会推动科学的发展。

本文将利用三种方法，Ricaati方程法 [1]，Exp函数法[2,3]和Tanh函数法[4]对以下方程进行求解

其中u=u(x,y,t),b是常数，下标表示偏导数。

1 基于 Ricaati方程法求解

首先我们利用Riccati方程法来求解方程（1），设方程（1）的行波解为

其中k,m,n是常数。将（2）式代入方程（1），则得到如下的非线性常微分方程

现在寻找方程（3）具有如下形式的解：

其中αi是稍后确定的任意常数，Φ满足Riccati方程：

其中r是常数。平衡方程（3）中最高阶线性项v""与最高阶非线性项v'2，易知m=2，因此

将（5）和（6）式代入方程（3），使得φi(i=0…6)的系数等于零，可以得到关于α0,α1,α2,k,m,l的方程组，借助Maple可以求得该方程组的解：

在文献[1]中，Riccati方程（5）具有如下形式的解：

其中ζ=kx+ly+mt。

结合（7）和（8），我们得到……