张花国，李　鑫，张建华，魏　平

(1．电子科技大学电子工程学院，四川成都611731; 2．中国船舶工业系统工程研究院，北京100094)



基于半定松弛的长码DSSS信号扩频波形估计

张花国1，李鑫1，张建华2，魏平1

(1．电子科技大学电子工程学院，四川成都611731; 2．中国船舶工业系统工程研究院，北京100094)

摘要:针对非合作通信中的长码DSSS信号，提出了一种基于半定松弛的扩频波形估计方法，并在确定信号模型下推导了扩频波形估计的CRB．首先推导了长码DSSS信号扩频波形的极大似然估计，由于该极大似然估计为非凸的组合优化问题，提出通过松弛约束条件将其转化为具有多项式计算复杂度的半定规划问题，实现对该极大似然估计问题的近似求解．仿真表明本文提出方法性能优于现有方法，并随着信噪比的提高逐渐逼近CRB．

关键词:长码DSSS信号;极大似然估计;半定松弛;扩频波形估计; CRB

1　引言

直接序列扩频(Direct Sequence Spread Spectrum，DSSS)信号具有抗多径、抗干扰、低截获概率、多址复用等优点，在军事和民用通信领域有着广泛的应用，如美国跟踪与数据中继卫星系统(TDRSS)、全球定位系统(GPS)及第三代移动通信CDMA系统等．合作接收方可利用已知扩频波形对DSSS信号解扩完成信息码估计，而对于非合作接收方如无线电频谱监视、通信对抗等领域，需要事先估计出扩频波形才能完成信号解扩．因此，非合作低信噪比条件下，DSSS信号的扩频波形估计是目前研究热点之一．

目前，针对短码DSSS信号(即扩频波形周期与传输的信息码元宽度相等)的扩频波形估计问题已取得了大量研究成果［1～6］，在低信噪比下可实现扩频波形的精确估计．对于长码DSSS信号的一种特殊形式周期长码DSSS信号(即扩频波形周期为信息码元宽度的整数倍)，目前其扩频波形估计问题也得到了广泛的研究［6～10］，总体来讲其主要思路是基于短码DSSS信号扩频波形估计方法上的扩展，将周期长码DSSS信号建模为虚拟多用户短码DSSS信号［6，7］或采用分段估计法［8～10］，利用短码DSSS信号估计方法获得周期长码DSSS信号扩频波形的分段估计值，并进一步利用特定扩频序列(如m序列、Gold序列)的性质，拼接扩频波形的各分段估计值获得完整周期扩频波形的估计．而对于非周期长码DSSS信号(即扩频波形周期为信息码元宽度的非整数倍)，由于其信号数学模型相对复杂，目前研究结果较少，根据公开文献最早进行非周期长码直扩信号扩频波形估计的是DMDS (Dominant Mode despreading)主模式解扩算法［11，12］，该算法首先对信号进行频域信道化，将协方差矩阵主特征向量的反傅里叶变换作为扩频波形的估计;文献［13］针对非周期长码DSSS信号，基于短码DSSS信号估计方法［2］提出了一种启发式的改进方法，将信号划分为多个宽度远小于信息码宽的相互重叠时窗，近似认为各个时窗仅包含一个信息码元，利用特征分析法［2］实现扩频波形的分段估计，并根据分段估计的重叠部分通过拼凑方式得到完整周期扩频波形的估计;文献［14］将非周期长码DSSS信号建模为短码DSSS信号的缺失数据模型，利用缺失数据模型低稚逼近方法得到扩频波形的估计;文献［15］提出了一种基于差分主元分析的非周期长码DSSS信号扩频码估计方法，通过协方差矩阵特征分解完成信息码元个数、扩频码子序列的估计．

上述这些非周期长码DSSS信号扩频波形估计方法均未考虑扩频波形估计的CRB (Cramer-Rao lower bound)克拉美劳界，对其估计性能缺乏有效衡量标准，而且没有由最优估计理论角度对扩频波形估计问题进行理论解释．本文针对非周期长码DSSS信号的扩频波形估计问题，首先在确定信号模型(将无关参数信息码元序列建模为确定未知量)条件下，理论推导了扩频波形与信息码序列的联合极大似然估计;其次，注意到该极大似然估计为一典型的组合优化问题，具有指数计算复杂度，实际应用中难以实现求解，进而通过松弛该极大似然估计问题的约束条件，提出了一种具有多项式计算复杂度的基于半定松弛的近似极大似然估计算法;最后，本文在确定信号模型条件下，理论推导了扩频波形估计的CRB，为扩频波形估计性能提供了一个理论下界．由于本文提出算法是基于参数的极大似然估计准则而提出的，极大似然估计器具有渐进有效性，因此本文提出算法相对现有估计器具有更优的估计性能，计算机性能仿真也验证了本文提出算法的优良性能．

2　信号模型

非合作接收方截获的长码直扩信号可表示为y(n) (n =0，1，…，N－1) :

其中A＞0为信号幅度，G为信息码宽(扩频增益)，L为扩频波形周期(L＞G且L为G的非整数倍)，v(n)为方差σ2的高斯白噪声序列．信息码波形由BPSK信息码序列b =构成，其中表示长为N的截获信号样本中所含有的信息码个数(「x?代表比x大的最小整数)，q(n)为矩形函数且当n∈［0，G)时q(n) =1，否则为扩频波形的周期扩展，其中M = N/L表示截获信号样本内含有的扩频波形周期个数;扩频波形c是扩频序列与信道冲激响应的卷积［2，13，14］，且满足‖c‖2= L，其中‖·‖表示Frobenius范数．信噪比定义为SNR = A2/σ2.

令x =[ cTbT]T表示信号模型中的未知参量，则信号样本可看作为x的函数s(x )，且由式(2)可知其中⊙表示Hadamard积，分别表示截获信号样本序列和噪声序列，则式(1)可写为:

本文的目的是利用截获信号样本序列y得到x的极大似然估计，并通过半定松弛方法完成该极大似然估计问题的近似求解，从而最终实现扩频波形的近似极大似然估计．

3　基于半定松弛的扩频波形估计方法

3.1扩频波形的极大似然估计

给定信号幅度A、噪声方差σ2和x时，信号样本y的对数似然函数为:

由于信息码为BPSK调制且‖c‖2= L，很容易得出‖s(x)‖2= N．固定待估计参量x，式(4)对A和σ2分别求偏导并令其等于0，得到A和σ2的极大似然估计:

将上式(5)代入式(4)可得:

其中x1: L表示向量x的前L个元素所构成的列向量，上式(7)中的两个约束条件分别来自扩频波形的范数约束及BPSK信息码序列的有限符号集特性．

3.2基于半定松弛的扩频波形估计

极大似然估计问题式(7)中的第二个约束使其为典型的组合优化问题，具有指数计算复杂度，精确求解该问题的计算量随着信息码序列长度的增加呈指数增长，因此为典型的NP问题，不具备实用性．本文提出通过松弛约束条件，将该组合优化问题转化为一个凸的半定规划问题，大大降低了计算复杂度．

其中，0L×L代表L×L维的全0矩阵．

其中F为对角阵，其前L个对角元素为1，其余均为0; Xi，i表示矩阵的第i个对角元素．

约束条件X = xxT表明优化变量X半正定且秩为1，秩1约束使得该优化问题非凸，松弛该约束可得到如下半定规化问题［16，17］:

4　扩频波形估计的CRB

为了衡量扩频波形估计器的性能，本节针对确定信号模型下扩频波形估计的CRB进行理论推导．定义维的未知参数向量由式(3)可知信号样本y服从高斯分布即y～N (μ，R)，其中．Fisher信息矩阵J(θ)［19］

对称矩阵J(θ)具有如下分块结构形式:

其中“0”表示元素全为零的向量．

约束条件为:

利用约束条件式(15)和(16)将得到最小约束CRB［20，21］，其中约束条件式(15)为范数约束，约束条件式(16)为符号约束．符号约束属于“静约束”，不会改变Fisher信息矩阵的奇异性，而范数约束可避免Fisher信息矩阵的奇异性．范数约束式(15)可等价的写为矩阵形式，其相应的2)维梯度矩阵为:

未知参数向量θ的前L个元素为扩频波形c，因此扩频波形估计NMSE的理论下界为CRBc(θ)前L个对角元素的平均:

5　计算机仿真

本节利用计算机仿真考察本文提出的半定松弛扩频波形估计器的性能，并与现有的分段法［13］估计器和DMDS［11，12］估计器以及本文推导的约束CRB进行性能比较．每个NMSE数值由500次蒙特卡罗仿真实验得到，扩频波形在每次蒙特卡罗仿真实验中随机产生且服从高斯分布，同时令非周期长码DSSS信号的扩频波形周期和信息码宽分别为L =63，G =30.

固定信号样本长度M =30，扩频波形估计的NMSE随信噪比变化仿真曲线如图1所示，由仿真图可以看出，本文提出的半定松弛扩频波形估计器的估计性能明显优于分段法和DMDS估计器，并且随着信噪比的增加，半定松弛估计器的估计性能逐渐逼近并达到约束CRB．

固定信噪比为SNR =－9dB，扩频波形估计的NMSE随信号样本长度变化仿真曲线如图2所示．由仿真图可以看出，分段法估计器与DMDS估计器随着信号样本长度的增加，其误差减小开始变缓，而本文提出的半定松弛扩频波形估计器的估计性能与约束CRB接近．

改变非周期长码DSSS信号的扩频波形周期和信息码宽L =127，G = 30/50.固定信号样本长度M = 50，扩频波形估计的NMSE随信噪比变化仿真曲线如图3所示;固定信噪比为SNR =－9dB，扩频波形估计的NMSE随信号样本长度变化仿真曲线如图4所示．由仿真图可以看出，本文提出的半定松弛扩频波形估计器的估计性能与约束CRB接近．

由以上仿真明显可看出本文提出估计器明显优于现有估计器，其主要原因是本文估计器是由最优参数估计理论-极大似然估计推导得到，尽管本文采用了半定松弛方法对极大似然估计问题进行了近似求解，这也说明半定松弛方法对极大似然估计问题具有良好的求解性能，这在合作通信多用户检测问题［16］中也得到了证明．

6　结论

本文针对长码DSSS信号的扩频波形估计问题，由最优参数估计理论角度推导了扩频波形的极大似然估计模型，并提出了一种半定松弛方法实现该极大似然估计的近似求解，同时在确定信号模型下推导了扩频波形估计的CRB，为衡量各种估计器的性能提供了一个理论下界．由于本文提出方法基于极大似然估计理论，相对现有方法具有更优的估计性能．

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张花国男，1979年1月生于山东潍坊，电子科技大学电子工程学院副教授，主要研究方向为复杂通信信号截获与分析．

E-mail: uestczhg@163．com

李鑫男，1991年11月生于辽宁朝阳，现为电子科技大学电子工程学院硕士研究生，主要研究方向为DSSS信号的盲解扩研究．

A Semidefinite Relaxation Approach to Spreading Waveform Estimation for Long-Code DSSS Signals

ZHANG Hua-guo1，LI Xin1，ZHANG Jian-hua2，WEI Ping1
(1．School of Electronic Engineering，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu，Sichuan 611731，China; 2．Systems Engineering Research Institute，Beijing 100094，China)

Abstract:For long-code direct sequence spread spectrum (DSSS) signals in non-cooperative communication systems，a semidefinite relaxation approach to spreading waveform estimation is proposed，and the Cramer-Rao lower bound (CRB) for the spreading waveform estimation is also derived under the deterministic signal model．We first derive the maximum likelihood estimate (MLE) of spreading waveform．Then，due to the MLE problem being a non-convex combinatorial optimization problem，we approximate it as a semidefinite programming problem which features polynomial worst-case complexity by relaxing the constraints．The simulation results demonstrate that the proposed estimator significantly outperforms the existing estimators and can achieve the CRB as the signal-to-noise ratio increases．

Key words:long-code DSSS signals; maximum likelihood estimate; semidefinite relaxation; spreading waveform estimation; Cramer-Rao lower bound

作者简介

基金项目:国家自然科学基金(No．61201282) ;中央高校基本科研业务费(No．ZYGX2013J016)

收稿日期:2014-12-01;修回日期: 2015-08-21;责任编辑:李勇锋

DOI:电子学报URL: http: / /www．ejournal．org．cn10．3969/j．issn．0372-2112．2016．02．013

中图分类号:TN911.6

文献标识码:A

文章编号:0372-2112 (2016) 02-0334-06