华腾飞

排列组合中，有一类类似于球入盒问题，如何快速、准确地求解此类问题呢？求解此类问题的关键是要弄清楚：球的“同”与“不同”、盒子的“同”与“不同”. 下面分类例析，相信同学们定会从中受到启示，掌握求解此类问题的技巧，从而提高分析问题和解决问题的能力.

将不同小球放入不同的盒中

1. 球少盒多型

求解此种类型的问题，通常利用分步计数原理或排列的方法.

例1 若将3个不同的小球放入4个不同的盒子里，有几种不同的放法？

解析 可分三步完成，由于每一个球都有4种放法，所以共有[43=64]种不同的放法.

例2 若将3个不同的小球放入4个不同的盒子中，每盒至多放一个，有多少种不同的放法？

解析 将盒子看作元素，即从4个不同的盒子里任意取3个放入3个不同的小球，这显然是排列问题. 因此共有[A34=24]种不同的放法.

2. 球多盒少且每盒至少放一球型

求解此类问题的方法是先分组，然后排列.

例3 把4本不同的书奖给3名同学，每个人至少得1本，共有多少种不同的奖励方法？

解析 分配方案为“2，1，1”，即一个盒子放2个球，另两个盒子各放一个球. 将某两个球合为一体，球的搭配有[C24]种方法. 盒子的选择则为三个数字的全排列，即[A33]. 综上可得，[C24?A33=36]种不同的奖励方法.

例4 将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有多少种？

解析 “恰好型”问题实际上确定了分配方案. 本题的分配方案为“2，1，1，0”，共有[C24?A34=144]种不同的放法.

3. 球与盒个数相同

例5 若将4个不同的小球放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有多少种不同的放法？……