胡云山

余文森教授从专业角度提出：课堂教学的有效性是指通过课堂教学使学生获得发展，最核心的一点是看学生是否愿意学、主动学以及怎么学、会不会学。叶澜教授认为有效的课堂应该是这样的：教师在教学过程中，千方百计地让学生之间相互学习，充分交流知识经验和生活经验，达到资源共享；学生在学习的过程中会不断生成新的思想和认识，在交流中认识不断升华，实现智慧共生。毫无疑问，要实现这一切，就必须把课堂教学设计好。“设计”让你的课堂教学的质量更高、更精彩。

一、在知识形成处设计， 体验知识形成历程

【案例1】圆锥曲线的导入

（一）展示图片，激发兴趣

地球绕太阳的运行轨迹；彗星的运行轨迹；炮弹的飞行轨迹；喷泉的水柱……以这些图片揭示椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线。

（二）再现历史，重温历程

1.希腊著名学者梅内克缪斯（公元前4世纪）企图解决当时的著名难题“倍立方问题”，他把等腰直角三角形ABC的直角A的平分线AO作为轴。旋转三角形ABC一周，得到曲面ABECE'，（如图1）。用垂直于AC的平面去截此曲面，可得到曲线EDE'，梅内克缪斯称之为“直角圆锥曲线”。他想以此在理论上解决“倍立方问题”但未获成功。而后，便抛开“倍立方问题”，用不同的平面去截此曲面，把圆锥曲线做为专有概念进行研究。当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识，上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得到，因此被称为圆锥曲线的“雏形”。

2.展示圆锥木块经过不同切割后产生的曲线。

3.经过了约二百年的时间，希腊的两位著名数学家奥波罗尼奥斯（公元前三世纪后半叶）和欧几里得（公元前300-前275）。奥波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中，不仅系统地阐述了圆锥曲面的定义、利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法与构成，而且还对圆锥曲线的性质进行了深入的研究。欧几里得在他的巨著《几何原本》里描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，即平面内一点F和一定直线AB，从平面内的动点M向AB引垂线，垂足为C，若|MF|：|MC|的值一定，则动点M的轨迹为圆锥曲线。只可惜对这一定理欧几里得没有给出证明。

4.又经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《汇篇》中，才完善了欧几里得的关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定理进行了证明。至此，圆锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了。17世纪荷兰数学家舒腾（F.van.Schooten，1615～1660）利用椭圆的两个焦半径之和等于常数这一性质，给出椭圆的画法。直到1822年，比利时数学家旦德林（G.P.Dandelin，1794～1847）才利用双球模型总结出椭圆的定义。

（三）严格推理，建构数学

由双球模型及球外一点所作球的切线长都相等可得MF1=MP，MF2=MQ，故MF1+MF2=MP+MQ=PQ （常数），也就是说，截线上任意一点到两个定点F1F2距离之和等于常数（如图2）。

一般的，平面内到两个定点F1F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。

类似可以得到双曲线，抛物线的定义。

【设计意图】努力通过数学情境，体现数学的历史与文化。本节课是圆锥曲线这一章的第一课，设计时结合教材加入了数学史材料，揭示数学知识形成的过程，同时揉入数学家的故事，让原本枯燥、乏味的课堂焕发生机，学生不仅了解了数学发展史，增加了学习数学的兴趣，而且从故事中学到了数学家的严谨态度、锲而不舍的探索精神。通过设计，让学生在主动参与获取知识的过程中获得挫折和成功的体验，并在这一过程中培养耐挫力和探索的兴趣，积累成功的经验。

二、在建构新知处设计， 经历知识发展过程

【案例2】圆锥曲线第二定义的建构

（一）回顾旧知，提出疑问

展示椭圆标准方程的过程：设点M（x，y）为椭圆上任意一点，焦点F1，F2的坐标分别是（-c，0）和（c，0）。由椭圆的定义可得： ，……（1）；将这个方程移项，两边平方得： ，……（2）；两边再平方，整理得 ……（3）

【问题1】我们为什么把（3）式作为椭圆的标准方程？

分析： （3）式简洁，具有对称美，容易求解，便于研究椭圆的几何性质，如范围，对称性，顶点等。

【问题2】大家说了（3）式的诸多优点，它作为标准方程有什么缺点？

分析：无法揭示椭圆上的动点到两焦点的距离之和等于定长的几何本质。

（二）问题驱动，建构新知

【问题3】（1）式恰好有此优点，但无法揭示椭圆的其他几何性质，是否存在一个方程能使两方面完美结合？

分析：将（2）式变形： ……（4），即|MF2| =a-ex……（5）。

将（4）式变形得： 即 ……（6）。其几何意义是椭圆上的动点M（x，y）到右焦点的距离与它到定直线 的距离之比等于常数e。

（三）感知数学，引申发散

【问题4】（6）式正好揭示了椭圆的第二定义。（1）式还有其他变形吗？又能有什么收获？

分析：在（1）式两边乘以 ，整理可得：

，其几何意义为：椭圆上一动点到两焦点的距离之差与该点到垂直于焦点连线的对称轴的距离之比为定值；若对（1）式两边平方，整理得： ，其几何意义为椭圆上动点到两焦点的距离之积与它到原点的距离的平方之和为定值……

【设计意图】学生不是空着脑袋进教室的，每一位学生都有许多数学知识和生活经验，这构成学生进行数学学习的特定世界，影响并制约着他们的数学学习。根据维果斯基的“最近发展区理论”，教学应着眼于学生的最近发展区，建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。通过各个层次的问题的驱动，鼓励所有学生认真思考，使不同层次的学生都有回答问题的愿望，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平。只有认识到学生已有经验在学习活动中的重要性，才能实现真正意义上的有效探究。

三、在应用知识处设计， 展望知识应用价值

【案例3】椭圆性质的运用

【例题】我国发射的一颗通讯地球卫星的运行轨道，是以地心C为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为439km，远地点B距地面为2384km，且A、C、B在同一直线上。地球半径为6371km，求卫星的运行轨道方程（精确到1km）。

解：以AB为x轴，AB的中点为原点建立（如图3）所示的直角坐标系。设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则a-c=CA=6371+439=6810，a+c=BC=6371+2384=8755，解得：a=7782.5，c=972.5， ≈7721.5。所以椭圆轨道近似为 =1。

【设计意图】数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维品质。圆锥曲线除了以上两个实际应用外，在太阳系中天体运动轨道几乎都是圆锥曲线，古代人们为了占卜及预报日食、月食等需要，对圆锥曲线作了大量研究，不但使圆锥曲线成为最早认识的非圆曲线，也促进了数学本身的发展。人造地球卫星的轨道也是椭圆，人们在设定了一定的轨道参数之后，就能控制和预报卫星的运行轨道。本题的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基，充分体现了数形结合的思想。

教学设计作为教师对新课程实施的设想、计划、方案，是教师将教育理念付诸实践的起点，是教育理念与教学实践的界面。为此，教师在进行教学设计时，一定要树立正确的指导思想，树立“为了每位学生的充分发展”的价值取向和以课改新理念为出发点的观念，教学设计要有时代性、挑战性，要新颖独特、具有个性，要融入教师自己的科学精神和智慧。更要不断进行教学反思，努力做一名反思型教师，及时发现新问题，把教学实践提升到新的高度，实现自我超越，提高自己驾驭课堂教学的能力。