张建云 陆平

有条名联，上联：方若棋盘，圆若棋子，动若棋生，静若棋死. 下联：方若行义，圆若用智，动若聘才，静若得意. 在数学中，甚是如此，本文将以解析几何为背景，来阐述数学中如何依托的一些动与静的关系来解一些题.

一、动中有静， 借形辅数，水到渠成

① 以不等式为背景的问题1：椭圆 + = 1，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，椭圆上存在一点M，满足MF1⊥MF2求离心率e的范围.

分析 求离心率e的范围实质就是构建a，b，c不等式.

解 在椭圆 + = 1上存在点M使∠F1MF2 = 90°即以点为原点，OM = c为半径的⊙O与椭圆相交，而椭圆方程中a、b、c都是动态的，我们可锁定a、b，即椭圆不动，使得⊙O与椭圆相交，只要⊙O足够大，即c2 ≥ b2即2c2 ≥ a2.

即 ≤ e < 1，得解.

反思 本题在解题过程中，第一要明确目标；第二 要选准动静双方.如果前期工作做好了，运用动静的关系，解题就即方便，又准确.

二、静中有动， 参变互换，一蹴而就

② 以直线为背景的问题3：（2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷））设直线系M：xcom θ + （y - 2）sin θ = 1（0 ≤ θ ≤ 2π），对于下列四个命题：

A. M中所有直线均经过一个定点

B. 存在定点P不在M中的任一条直线上

C. 对于任意整数n（n ≥ 3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上

D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）.

分析 如果我们把xcom θ + （y - 2）sin θ = 1式子中x，y 变成相对静止的参数θ而把参数θ看成变量，就会联想到公式：

又因为x cos θ + （y - 2）sin θ = 1所以点P（0，2）到M中每条直线的距离d = = 1即M为圆C：x2 + （y - 2）2 = 1：的全体切线组成的集合，对任意n ≥ 3，存在正n边形使其内切圆为圆C，故C正确.

直线系M中边能组成两个大小不同的正三角形，如图△ABC和△AEF，故D错误.所以故命题中正确的序号是：B、C.

反思 本题的解题关键在于知道动态的直线系M为圆C：x2 + （y - 2）2 = 1的全体切线组成的，在坐标平面中形成了一个静态的空洞，理解静态的空洞内的点和空洞外的点分别和直线系的关系就可以了，此解法独特，用好“动与静”的关系，解题效果颇佳.

三、动静互换，巧构坐标系，出奇制胜

③ 以曲线为背景例题4：已知椭圆的长轴长为10，短轴为6，在第一象限内保持与两坐标轴相切地运动，求椭圆的中心的轨迹.

分析 变换一下动与静的双方，即坐标系动起来，而把椭圆静止一下，研究椭圆的两条互相垂直的切线的交点的性质，就会把看上去困难的问题解决.

可以化简得x02 + y02 = 25 + 9 = 34.

这就是说点P到椭圆中心距离为，故所求轨迹方程为x2 + y2 = 34，并且x∈[3，5].轨迹图形是一段圆弧.

以“动——静——再动——再静——再动—”，不断地使创新思维向更高的水平发展.在思维过程中，如果动不以静为目标，思维就不会获得成功；静不以动为先导，也不会有创新.因此，动，静思维也是一种重要的思维形式.

高考数学命题都源于课本，我们如果在数学学习的过程中，以“动与静”的关系来理解课本中的概念、定理、公式，那么解题时，往往能够事半功倍、避免题海战术.