摘 要：本文主要介绍一个测量方法，当我们使用直流电压表测量直流电压源的开路电压UOC时，如果直流电压源的内阻R0不足够小，电压表的内阻RL值不足够大，就不能忽略R0引起的测量误差。基于选择电压表不同的量程时，电压表的内阻值也不相同，我们使用电压表进行两次测量，然后通过计算得到开路电压值。这样得到的开路电压值将趋于实际值，因此测量误差减小。

关键词：直流电压；测量方法；测量误差

为了准确测量直流电压源的开路电压UOC，我们必须要求直流电压表不改变电路原来的开路状态。 这意味着直流电压表的内阻RL必须趋于无穷大。

但在通常情况下，电压表的内阻RL的值不够大。 如果使用这种电压表测量直流电压源的开路电压UOC，则原来的开路的电压源将变成闭合回路。

那么闭合回路的电流I在电压源内阻R0的两端产生电压。导致电压表的显示值和UOC的实际值之间出现误差。

1 电压的直接测量和误差

如果电压表的内阻RL不趋于无穷大，当我们测量由直流电源供电的电阻电路中的任意两点之间的电压或测量直流电压源的开路电压时，容易发现电压表内阻RL越小，则电压表的显示值和实际电压值的误差越大。

如果直流电压源的内阻R0（或：直流电路的戴维南等效电路的内阻）不趋于零， 当我们使用直流电压表测量开路电压UOC时，RO值越大，则电压表的显示值和实际电压值的误差越大。

1.1 电压表内阻的测量

我们可以使用分压理论来测量直流电压表的内阻RL值。

如图1所示，首先根据电压表的量程，选择恒定电压源E的电压值小于或等于电压表的量程，并把开关K连通读取记录电压表的显示值V1； 然后在不改变恒定直流电压源E的条件下，我们把开关K断开，改变标准电阻箱Rt的电阻值，以便将电压表的显示值调节到“V1/2”处；

接着从电阻箱的面板上直接读取电阻Rt的值（或：用可调电阻器代替电阻箱，再用欧姆表测量Rt的值）；

最后根据分压原理，就可以得到直流电压表的内阻RL等于Rt[ 1 ]。

1.2 电压表内阻引起的测量误差分析

我们在测量直流电压源的开路电压UOC时，为了分析电压表内阻RL引起的测量误差（电压表的显示值UO≠ UOC），采用如图2所示的直流电压表V来测量。

在图2（a）中，待测直流电压源的电动势为E，其内阻为R0；

在图2（b）中，直流电压表V的内阻为RL，回路电流為I。

根据欧姆定律，可得到电流如下：

以及，电压表的两个端点上的电压是：

根据式（1）、式（2），我们得到：

在电压源的恒定的条件下， 如果RL的电阻值足够大（这意味着RL趋于无穷大），我们就称电压表为“理想电压表”，理想电压表显示的U0等于电压源的开路电压UOC，这表示着UOC等于电动势E，理想电压表没有内阻RL导致的测量误差。

分析如下：如果RL→∞，根据表达式（1）和（3），可得到电流I = 0和理想电压表显示的电压U0 = E。我们称此时的U0为理想电压表的显示值，此时U0的实际值（理论值）为

如果电压表内阻RL不足够大（这意味着RL不趋于无穷大，且不为零），这种电压表称为实际的电压表。当我们使用实际电压表测量UOC的值时，电压源的开路状态将变为閉合回路。

实际电压表显示的UO小于电压源的开路电压UOC（UOC= E），此时产生了测量误差。

分析如下：由于RL 不趋于无穷大且RL≠0，根据表达式（1）和（3），我们可以得到I≠0，以及U0=（E - I×R0）根据UOC的实际值为E和实际电压表测量UOC的显示值为（E - I×R0），就知道实际电压表的测量有误差，因此我们使用绝对误差ΔU来描述测量UOC的误差大小。

由于绝对误差ΔU是实际电压表测量的显示值减去开路电压的实际值E（理想电压表的显示值），所以绝对误差的计算式如下：

根据图2（b）电路和公式（4），可容易地理解，如果增加RL的电阻值或减小R0的电阻值，△U的绝对值将减小。

因此：不改变测量方法时，必须选择电压表的内阻RL的值足够大，使电流I趋于零。

2 测量电压的计算方法

2.1 使用电压表的两个量程进行测量

如图3所示，使用电压表的两个量程对实际电压源进行两次测量。

我们用图3（a）描述实际电压源，其中它的内阻是RO、电动势是E、开路电压是UOC；

用图3（b）描述测量UOC的方法，其中回路电流是I，电压表V测量开路电压的读数值是U0，电压表在量程1的内阻是RL1，电压表在量程2的内阻是RL2。

如图3（b）所示，规定选择电压表选择量程1时：回路电流I的测量值用I1表示，电压表的测量显示值UO用U1表示，得 I1 = E/ （R0+RL1） 和 U1 = I1×RL1。

综合上述两个表达式，我们得到：

如图3（b）所示，规定选择电压表选择量程2时：回路电流I的测量值用I2表示，电压表的测量显示值UO用U2表示，得 I2 = E/（R0+RL2） 和 U2 = I2×RL2。

综合上述两个表达式，我们得到：

综合表达式（5）和（6），就可消掉R0，从而得到实际电压源开路电压UOC的实际值是电动势E，即UOC = E的计算表达式，如下：

结合表达式（4），我们可以理解上式删除了由R0引起的测量误差。

2.2 使用相同量程的电压表进行两次测量

当电压表只有一个量程并且内阻RL不足够大时，我们还可以附加一个已知的电阻R，使用两个不同的电路来测量实际电压源的开路UOC作为示例，用以阐明使用同一个量程的测量计算方法。

實际电压源的等效电路图如图4（a）所示。电压源的内阻是R0，电动势是E，开路电压是UOC。

第一次测量，如图4（b）所示，回路电流用I1表示，电压表测量显示值用U1表示，有I1 = E /（R0 + RL）和U1 = I1×RL，则得：

第二次测量，如图4（c）所示，回路电流用I2表示，电压表测量显示值用U2表示，有I2 = E /（R0 + RL + R）和U2 = I2×RL，則得：

解表达式（8）和（9），就可消掉R0，从而得到实际电压源开路电压UOC的实际值是电动势E，即UOC = E的计算表达式，如下：

3 直流电路中电压的测量算法

电压的测量计算方法：

如图5（a）所示，我们用N表示含有电源的直流电阻电路，a和b两端点是电路N中的不同电位点，a和b两端的电压是Uab（Uab = UOC）。因此，我们称这种具有二端点的电路N是戴维南（Thevenin）定理描述的线性二端网络（注2）。

在图5（b）和（c）中，我们采用内阻为RL的电压表测量二端网络N中a和b两端的电压时，可以把图5（b）所示的二端网络N等效为图5（c）中的电动势E和R0的串联。

为了得到图5（a）中a和b两端之间的开路电压UOC（Uab = UOC）：

我们可根据图5（b）和（c），并结合图3和图4，就很容易知道一个事实，我们可以对直流电路中的电压进行两次测量，应用计算方法得到在图5（a）两端点a和b之间趋向于实际值的电压

因此，在图5（c）中， 当RL趋于无穷大时，我们可以分别将公式（7）和（10）改写为公式（11）和（12），计算开路电压UOC如下：

算法1，采用图3（b）的方法，对图5（a）用电压表的两个量程测量计算：

算法2，采用图4（b）和（c）的方法，对图5（a）用电压表相同量程构成两种测量电路，进行测量计算：

参考文献：

[1] 张军明，许桂清编著.中学物理科学探究学习评价与案例.北京大学出版社，2010-11-01.

[2] 电路分析基础.西安电子科技大学出版社.2013-04-01.

作者简介：

柯廷丰，男，湖北省应城一中高三年级，指导老师：李达。