饶雄

在解析几何中，椭圆上的点到直线的最短（长）距离或求动点到定直线的最短（长）距离，是我们经常遇到的问题，要解决它可以从多个方面入手.如归结为数形结合判别式法、参数方程法和柯西不等式法，以下我们举例说明.

数形结合判别式法

例1 求椭圆[x24+y212=1]上一点到直线l∶y=x-5的距离的最小值.

分析 作出直线[l]及椭圆（如图），观察图形，可以发现，利用平行直线与椭圆只有一个交点，可以求得相应的最小距离.

[F1][F][O][x][y][y=x-5]解 如图，虚线为与椭圆相切且与直线[y=x-5]平行的直线，而此直线与[y=x-5]之距即为所求.

设虚线的直线方程为y=x+b，

[∴x24+y212=1，y=x+b.]

化简得[4x2+2bx+b2-12=0].

∵相切，

∴Δ=0.

∴b=±4，由图可知b=-4，

[∴]图中两直线之距为[d=-4+52=22].

[∴dmin=22.]

点拨 数形结合判别式法用到了直线与椭圆位置关系的相关知识，即：联立椭圆方程与直线方程得到的一元二次方程判别式等于0时，直线与椭圆相切，然后两平行直线间的距离即为椭圆上的点到直线的最短（长）距离. 此方法的优点是用图形的直观化难为易，化抽象为具体，从而达到简洁明了的解题效果. 能提高数形结合的灵活性，有助于思维能力的培养，有利于解题能力的提高.

[参数方程法]

例2 已知定点Q（0，-4），P（6，0），动点C在椭圆[x29+y24=1]上运动，求[△QPC]面积的最大值和最小值.

分析 椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的参数方程是[x=acosθ，y=bsinθ]（θ为参数，且0≤θ<2π），利用椭圆参数方程研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作[（acosθ，bsinθ）].

解 依题设易求得PQ的方程为

2x-3y-12=0，|PQ|=[213]，

已知椭圆的参数方程为[x=acosθ，y=bsinθ]（θ为参数，且0≤θ<2π），

则椭圆上点[C（3cosθ，2sinθ）]到直线PQ的距离

[d=6cosθ-6sinθ-1213=62sin（π4-θ）-1213].

显然，当[θ=34π]时，

d最大，且[d最大值=62+1213]，

此时[SΔPQC]的最大值是

[12×d最大值×|PQ|][=12×62+1213×213][=12+62]，

当[θ=74π]时，d最短，[d最小值=12-6213]，

此时[SΔPQC]的最小值为[12-62].

点拨 参数方程法将点到直线的距离转化为求三角函数问题，通过辅助角公式求三角函数的最值. 方法的优点是把椭圆问题划归为我们所熟知的三角函数问题，进而避免了复杂的运算，并使解题过程得到优化.

[柯西不等式法]

例3 在已知椭圆[x24+y29=1]上求一点P，使得P到直线[3x+4y+20=0]的距离[d]取最大值.

[x][P][D][y][O]分析 像这种类型的题目用常规方法来解较为繁琐，假如巧用柯西不等式，问题会变得比较简单.二维柯西不等式：若[a，b，c，d]都是实数，则[（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2]，当且仅当[ad=bc]时，等号成立.

解 设[P（x0，y0），则d=3x0+4y0+205]，

由柯西不等式得：

[∴（3x0+4y0）2=（6?x02+12?y03）2≤（62+122）（x204+y209）=180.]

[∴-65≤3x0+4y0≤65，]

[∴20-65≤3x0+4y0+20≤20+65.]

[∴20-655≤3x0+4y0+205≤20+655.]

[即20-655≤d≤20+655.]

等号成立[?y0=3x0].

联立[x204++y209=1，y0=3x0，]

[解得x0=255，y0=655或x0=-255，y0=-655.]

验证可知，点[（255，655）]到直线的距离达到最大，

[dmax=20+655].

点拨 柯西不等式法，另辟蹊径用不等式的方法解决函数的最值问题，此方法的不足是柯西不等式属于选修内容，同学们掌握起来有一点的难度.

总之，椭圆上的点到直线的最值问题，既可以用代数方法，也可以用几何方法，当然也可以用到数形结合方法和不等式方法. 而要掌握这些方法，就需要我们在平时学习中不断积累学习经验.