张四保

(喀什大学 数学与统计学院,新疆 喀什 844008)



奇合数n不是完全数的一些命题

张四保

(喀什大学 数学与统计学院,新疆 喀什 844008)

摘要:奇完全数问题是数论中的一著名难题. 探讨形如4m+1的奇正整数是否为完全数问题，给出其在σ(π(α))≡2(mod8)条件下不是完全数的一些命题，由此可以类似地讨论其在σ(π(α))≡6(mod8)条件下的情形，从而可以给出4m+1型合数不是完全数的一系列条件.

关键词:完全数；奇完全数；条件

初等数论是密码学研究的重要基础理论[1]，其有着很多的研究热点课题.设σ(n)是正整数n所有正约数(包括1与n)的和函数.如果正整数n满足σ(n)=2n，则n被称为完全数.完全数问题是数论中的著名难题之一，许多学者对其进行了探究. 截至目前，人们只发现了49个完全数，且它们都是偶数.是否存在奇完全数，这已成为数论中的一难题[2]. 因而研究是否存在奇完全数，或者给出某奇正整数不是完全数的条件，是数论中一项十分有意义的工作.

Euler研究给出了奇完全数n的形式为

(1)

其中：π与qi(i=1,2,…,s)为互素的奇素数；q1，q2，…，qs是满足q1

1主要结论

当n是形如(1)式且为4m+1型的奇合数时，由于σ(n)是积性函数，有

由于π≡α≡1(mod4)，则π≡α≡1,5(mod8). 因而，当π≡1(mod8)时，有

当π≡5(mod8)时，有

其中：k是使得α=4k+1成立的非负整数.

此时，当k≡0(mod2)，有σ(πα)≡6(mod8)；当k≡1(mod2)，有σ(πα)≡2(mod8).

综合以上讨论，恒有

由于

8m+2≡2(mod8)，

则当σ(πα)≡2(mod8)时，有

当σ(πα)≡6(mod8)时，有

由于qi(i=1,2,…,s)为奇素数，则qi可写成qi≡±1(mod8)，qi≡±3(mod8)这4种形式.

当qi≡1(mod8)时，有

(2)

当qi≡-1(mod8)时，有

(3)

当qi≡3(mod8)时，有

(4)

当qi≡-3≡5(mod8)时，有

(5)

证明当qi都满足qi≡1(mod8)，qi的指数2βi满足βi≡1(mod4)时，有

此时，当s≡1(mod2)，即s为奇数，有

当qi都满足qi≡1(mod8)，qi的指数2βi满足βi≡3(mod4)时，有

此时，当s≡1(mod2)，即s为奇数，有

而当σ(πα)≡2(mod8)，有

因而，此时n不是完全数.证毕.

证明qi都……