曹 佳，严 正，李建华，曹 路

（1.上海交通大学 电气工程系 电力传输与功率变换控制教育部重点实验室，上海 200240；2.华东电网有限公司，上海 200120）

0 引言

随着高压直流输电线的接入和新能源的并网，现代电力系统运行工况相较传统电网变得更复杂、多变、不确定。如何针对不确定的多运行方式条件下获得电网的潮流分布，是电力运行部门亟待解决的问题。概率潮流PPF（Probabilistic Power Flow）计算能够计及电力系统运行中随机变量的不确定性和相关性，是获得输出变量概率分布的有效分析方法［1］。因此，考虑电力系统运行中随机变量的波动程度以及相关性的概率潮流计算具有一定的研究意义。

目前，国内外专家、学者在概率潮流相关性和求解算法等问题上已经取得一定的研究成果。在相关性问题上：文献［2］采用乔列斯基因子分解的方法生成具有指定相关系数的样本，从而研究负荷、发电机出力相关性对概率潮流结果的影响；文献［3］通过求取节点注入量之间的协方差矩阵，计及节点注入量之间的相关性，对交直流系统进行概率潮流计算；文献［4-5］提出的多项式正态变换方法，能够处理含非正态相关随机变量的概率潮流问题；文献［6］采用Spearman秩相关系数表示输入随机变量间的相关性，并提出结合遗传算法的改进拉丁超立方采样方法进行概率潮流计算；文献［7］通过对多维独立随机变量进行线性变换，得到具有任意相关性的多维随机样本，研究风速的相关性对概率潮流结果的影响。在求解方法上：基于随机抽样的蒙特卡罗模拟法和基于分层抽样的拉丁超立方抽样法［8-13］、基于近似法的点估计方法和一次二阶矩法［14-18］、基于解析法的半不变量法［19-20］已经成熟应用于概率潮流的求解。文献［12］针对传统拉丁超立方采样算法采样数必须事先确定且固定的问题，提出扩展拉丁超立方采样算法。文献［16］基于点估计方法提出一种考虑风速有界性的概率潮流方法，解决了点估计方法可能产生超出边界采样值的问题。文献［19］基于半不变量的概率潮流法研究不同天气状况下含风电场电力系统的潮流变化情况。

基于复杂相关性处理技术和改进的概率潮流算法，使得概率潮流计算能够处理复杂变量之间的相关性以及提高计算精度和计算效率，但是仍然面临着一些没有解决的问题。如何在含风电场交直流混联电力系统的背景下，考虑输电线路的随机故障并同时考虑不确定因素之间相关性以及波动程度，获得输出变量较为精确的概率分布，即减少计算中潮流发散的次数是需要解决的首要问题。本文首先构建了含风电场交直流混联电力系统概率潮流计算模型，通过乔列斯基因子分解法考虑负荷之间的相关性和通过构造Copula函数考虑风电场风速之间的相关性，并考虑了输电线路的随机故障。然后，采用交替迭代法进行常规交直流潮流计算，并采用改进的 LM（Levenberg-Marquardt）［21-22］方法求解常规非线性潮流方程组。最后，采用蒙特卡罗模拟法求解概率潮流问题。

1 含风电场交直流混联系统概率潮流模型

1.1 概率潮流方程

对于一个N节点风电并网交直流混联系统，假设风电场连接在节点i，且风电场中的风力发电机均采用双馈感应发电机，其无功功率的消耗可由控制器补偿。因此，风电场可采用恒功率因数的控制方式，功率因数保持为 1.0［4，6，23］。 风力发电机提供的有功功率Pwi是一个受风速波动变化的随机变量，与风速 Vi的关系近似如图 1 所示，Vci、Vr、Vco分别为切入风速、额定风速、切出风速，Pr为风机提供的额定有功功率。

图1 风电有功出力曲线图Fig.1 Active power output of wind turbine

概率潮流方程可以用概率交流潮流方程（1）和概率直流系统方程（2）共同描述［24］。

其中，PGi、QGi分别为第i台发电机的有功出力、无功出力；PDi、QDi分别为系统节点有功负荷、无功负荷；Ui为节点电压幅值；Gij、Bij、θij分别为节点 i与 j之间的互电导、互电纳和相角差；Udk为直流电压；Idk为直流电流；φk为功率因数角；kTk为直流输电线中的变压器变比值；θdk为换流器触发角 αr或熄弧角 γi；kr近似为常数 0.995［24］；gdkj为直流输电线 kj之间的电导值；nc为直流节点的数目；Xck为换相电抗。式（1）中正、负号分别对应逆变器和整流器；式（2）中的第4和第5个公式为换流器的控制方程，对于换流器不同的控制方式，每个换流器需指定2个独立的控制变量，使直流方程的个数等于直流变量需要求解的个数。

考虑到模型中风速Vi、负荷有功功率PDi、负荷无功功率 QDi的不确定性，输出变量 Ui、θi和 Udk、Idk、kTk、θdk、φk均具有概率特征，其统计特性可以用其数字特征进行描述，称式（1）和式（2）为含风电场交直流混联系统的概率潮流模型。

1.2 交替迭代法

针对随机变量波动变化每一次特定的取值，交直流混联系统的潮流方程可以采用交替迭代法进行求解。通过一阶泰勒展开，交流潮流方程（1）和直流系统方程（2）均可以写成：

其中，ΔF为非线性方程组的残差量；J为非线性方程组的雅可比矩阵；ΔX为所求变量的迭代步长。对于交流潮流方程（1），直流系统等价为已知恒定功率的负荷；对于直流系统方程（2），交流系统等价为换流器交流母线上的恒定电压［24］。交替迭代法具体的迭代步骤如下。

a.平启动，根据交流侧节点电压信息，通过式（2）估算直流变量的信息

b.分别计算换流器吸收或消耗的有功功率Pidc=UdkIdk与无功功率Qidc=UdkIdktanφk。通过计算潮流方程（1）和对应的非线性方程组（3），得到交流节点电压和相角更新的值

c.计算与换流器相连的交流节点电压前后迭代的二范数如果τ值小于收敛精度ε，迭代结束；否则转入步骤d。

d.根据更新的交流节点电压值通过计算直流系统方程（2）和对应的非线性方程组（3），得到直流变量更新的值

e.更新迭代次数Itei=Itei+1，返回步骤b。

2 改进的LM方法

针对概率潮流模型中，随机变量在不同波动程度取值的情况下，牛顿法对此特定工况运行条件下求解非线性方程组可能出现潮流不收敛的问题，本文采用具有鲁棒性的LM方法求解潮流非线性方程组［21-22，25-29］。 首先，原始的 LM 方法求解交直流系统的非线性方程组可以表示为：

其中，μn为阻尼因子。 文献［21-22，25-29］在已有的LM方法的基础上，通过引入具有自适应特性的阻尼因子，提出了改进的LM方法，并证明了该方法的收敛性。改进的LM方法不仅能够改变迭代方向，还能同时改变迭代步长，能够有效求解“病态”非线性方程组。该方法具有不受初始点选取的影响、鲁棒性强、在非线性方程组无解时仍能得到最小二乘解的特点，已经开始应用于电力系统潮流计算领域。并且在潮流方程雅可比矩阵接近奇异时，通过自适应阻尼因子的调整，使得迭代过程能够有效避开奇异区域，以避免因雅可比矩阵接近奇异从而导致潮流发散。 该方法的简要步骤如下［21-22，26］。

a.置初始迭代次数n=1，收敛精度ε，自适应因子 α1及常数 m、P0、P1、P2，并要求 α1＞m＞0，0＜P0≤P1≤P2＜1。

b.若成立，计算结束；否则根据式（5）计算得到LM下降迭代步dn，其中αn称为自适应因子。

再根据式（6）计算得到 yn和近似下降迭代步

置迭代步sn定义为式（7）。

c.根据式（8）计算迭代步取舍指标 ρn：

再根据式（9）判断是否接受迭代步sn。

d.根据式（10）更新自适应因子 αn。

e.返回步骤b，更新迭代次数n=n+1。

3 蒙特卡罗方法求解概率潮流

3.1 相关性的生成

首先，假设系统中负荷的功率因数保持不变，根据负荷的原始数据计算得到负荷功率因数。因此，只要负荷有功功率确定，负荷无功功率就能确定。假设所有负荷之间存在线性相关性，并设定线性相关系数为0.9，通过采用乔列斯基因子分解［2］的方法生成具有指定相关系数的负荷样本。标准差σ设定为期望的不同百分数，即构造了负荷波动的不同程度。

根据已有风电场风速的历史数据，采用参数估计法中的不同分布模型，通过优度拟合检验方法，选择最优的分布函数模型得到风电场风速的分布函数。针对不同风电场风速之间存在着非线性相关性的特点，本文采用Copula函数［30］构造不同风电场风速之间的联合分布，从而考虑不同风电场风速之间的非线性相关性。通过Copula函数拟合优度检验方法中的QQ图法，选取最合适的Copula函数构造不同风电场风速之间的联合分布函数。

3.2 蒙特卡罗方法

本文考虑了电网中输电线路的随机故障，假设每条输电线路发生故障的概率服从0-1分布，即每条线路发生故障的概率为λ=0.01。并且，本文还考虑了不确定性因素之间的相关性以及不确定性因素的不同波动程度。采用蒙特卡罗模拟方法求解含风电场交直流混联系统概率潮流问题，其主要步骤如下。

步骤1根据参数估计法得到风电场风速的分布函数，构造最优Copula函数得到不同风电场风速之间的联合分布函数。在联合分布函数模型下，生成各个风电场1000组风速样本数据。根据图1，将生成的风速数据转化成风电机组提供的有功功率Pwi。

步骤2将所有有功负荷在标准正态空间随机抽取1000组样本，并将其进行乔列斯基因子分解，得到具有指定相关系数的样本。根据输入有功负荷的期望与标准差σ，将具有互相关性的有功负荷样本从标准正态空间转化到非标准正态空间。

步骤3根据负荷功率因数保持不变，由有功负荷的样本即能确定无功负荷的样本。

步骤4对每条输电线路进行随机故障模拟，并去掉发生故障的输电线路。

步骤5采用交替迭代法求解常规潮流计算问题，并采用改进的LM方法求解其中的非线性方程组。

步骤6通过每一次常规潮流计算得到交流节点 Ui、θi和直流 Ud、Id、kTk、θdk、φk等变量信息。

步骤7判断蒙特卡罗模拟所需的1000次常规潮流计算是否完成。若完成，则对计算结果进行统计并求出输出变量信息的期望值和标准差；否则，转入步骤4进行下一次常规潮流计算。

4 算例分析

本文将含风电场交直流混联电力系统概率潮流计算模型应用于改进IEEE 118节点测试系统。计算环境为：3.20 GHz，4.00 GB RAM，MATLABR 2010a。所有数据均以标幺值形式给出，功率基准值为100 MV·A。采用甘肃酒泉风电基地的干河口、桥湾2个风电场风速数据。每个风电场额定容量为30×600 kW。将等值的风电场分别接在IEEE 118节点测试系统的节点 51、114。 风电机组的 Vci、Vr、Vco分别为 3m /s、13.5 m /s、20 m /s。为了检验改进 LM 方法求解非线性方程组的鲁棒性，同样采用牛顿法求解相应非线性方程组。文献［21-22］给出了改进LM算法中的相关参数。

本文将原始IEEE 118节点测试系统中的节点94与95相连的交流输电线更换成直流输电线，并在节点94新增导纳标幺值为2.1的并联电容。与节点94和95相连的换流器分别为整流器与逆变器。整流侧与逆变侧的换相电抗Xc1=Xc2=0.013，直流线路等效电阻为R=0.0388。整流侧控制方式为定功率Pdr=1.5，定延迟触发角αr=24.076722°，逆变侧控制方式为定电压Udi=0.938 4，定超前熄弧角γi=23.921763°［24］。

首先，采用参数估计法得出风电场风速的分布函数。表1给出不同参数分布下的最优参数估计以及与经验分布函数之间的无穷范数值d=‖·‖∞。根据d值的大小，可以检验最优参数分布函数拟合的优劣程度，以及选出最优的参数分布函数。

表1 不同参数分布函数下的最优参数估计Table 1 Optimal parameter estimation for different parameter distribution functions

从表1中可以看出，不同参数分布函数与经验分布函数之间存在差异。从d值的大小可以判断，威布尔分布函数与经验分布函数之间的d值最小，故选择威布尔分布函数能够较好地描述干河口与桥湾地区风电场风速的分布情况。从图2和图3可以看出，通过最优参数估计得到风电场风速分布的累积分布函数CDF（Cummulative Distribution Function）图与其经验分布十分接近，从而进一步证实威布尔分布能够较好地反映出该特定地区风电场风速的分布情况。因此，根据得到风电场最优参数分布函数，可以采用Copula函数构造不同风电场之间具有相关性的联合分布函数。通过Copula函数拟合优度检验方法中的QQ图，确定选择T-Copula函数描述风电场之间的联合分布函数，相应参数为Tθ=0.536 4，Tk=9.7829，图 4给出了T-Copula函数描述风电场风速之间的联合分布函数图。

图2 干河口地区风速的CDF图Fig.2 CDF of wind speed of Ganhekou district

图3 桥湾地区风速的CDF图Fig.3 CDF of wind speed of Qiaowan district

图4 风电场风速之间的联合分布图Fig.4 Joint wind speed distribution of two wind farms

为了研究不确定性因素之间的相关性及其波动程度对概率潮流结果的影响，设定负荷波动的标准差σ为其期望值的不同百分数。针对不同的标准差σ，分别统计由牛顿法和改进LM方法求解常规非线性方程组收敛从而潮流收敛的次数，以及2种算法得到结果的相对误差。相对误差定义为式（11）和式（12），其中x具体代表概率潮流结果中的交流变量U、θ与直流变量 Udk、Idk、kTk、θdk、φdk。

从表2可以看出，随着负荷波动程度的增大，牛顿法得到的收敛次数呈现明显的减少，但是改进LM方法得到的收敛次数却变化不大，由此说明改进LM方法具有较好的数值鲁棒性，能够很好地适用于不确定性因素波动程度较大的概率潮流计算。从表3可以看出，随着波动程度的增大，变量均值和标准差的相对误差逐渐增大，且大部分标准差的相对误差均大于期望的相对误差，特别是以交流节点电压相角θ的相对误差最为显著。由此进一步证实在波动程度较大时，2种算法得到的结果存在差异性，采用改进LM方法更能反映出真实的概率潮流结果。

表2 不同σ下概率潮流收敛次数Table 2 Convergence times of PPF for different values of σ

表3 不同σ下2种算法得到概率潮流的误差Table 3 Relative errors of PPF between two algorithms for different values of σ

为了进一步观察在不同波动程度下的概率潮流结果，表4给出在σ=1.0时概率潮流结果中的直流变量信息，图5—8给出在不同σ取值下各节点电压幅值、相角的均值和标准差，图9—12给出采用核密度估计方法在不同σ取值下风电场接入节点注入有功功率的概率密度函数PDF（Probability DensityFunction）图和 CDF图。

表4 σ=1.0时的直流变量信息Table 4 Information of DC variables when σ=1.0

图5 不同σ下的交流节点电压幅值期望图Fig.5 Expected voltage amplitude of AC nodes for different values of σ

图6 不同σ下的交流节点电压幅值的标准差图Fig.6 Standard deviation of voltage amplitude of AC nodes for different values of σ

图7 不同σ下的交流节点电压相角期望图Fig.7 Expected voltage phase-angle of AC nodes for different values of σ

图8 不同σ下的交流节点电压相角标准差图Fig.8 Standard deviation of voltage phase-angle of AC nodes for different values of σ

图9 不同σ下节点51注入有功功率的PDF图Fig.9 PDF of active power injection at Node 51 for different values of σ

图10 不同σ下节点51注入有功功率的CDF图Fig.10 CDF of active power injection at Node 51 for different values of σ

图11 不同σ下节点114注入有功功率的PDF图Fig.11 PDF of active power injection at Node 114 for different values of σ

图12 不同σ下节点114注入有功功率的CDF图Fig.12 CDF of active power injection at Node 114 for different values of σ

从表4可以看出，在控制方式确定的情形下，负荷的不同波动程度主要影响直流变量中的变压器变比值，而对其他直流变量影响不大。这主要是受交流电压幅值波动的影响，因为在交替迭代法中，换流器基本方程中Δd1k、Δd2k存在与交流电压Ui耦合的关系，而剩余方程 Δd3k、Δd4k、Δd5k与交流部分存在解耦的关系。从图5—8可以看出，负荷不同波动程度下节点电压幅值的均值和标准差差别不大，这也与表3中2种算法得到结果的误差较小相符合。但在波动程度大的情况下，2种算法求解得到的节点电压相角的均值和标准差差异显著。由此说明2种算法得到系统有功潮流分布存在差异，并且再次证实改进LM方法求解非线性方程组的强鲁棒性。从图9—12可以看出，在不同波动程度下，2种算法得到风电接入节点的注入有功功率的PDF和CDF同样存在着明显差异，若以牛顿法计算每一次常规潮流，将不能得到完全真实的信息。因此，在对计算结果精度要求较高的情况下，选择改进LM方法计算每一次常规潮流非线性方程组不失为一个不错的选择。

5 结论

本文建立了含风电场交直流混联系统的概率潮流模型，采用交替迭代法进行每一次常规潮流计算，并采用改进LM方法进行潮流非线性方程组的求解。考虑了模型中不确定性因素之间的相关性和输电线路的随机故障，同时研究了负荷在不同波动程度下牛顿法和改进LM算法计算得到的潮流收敛的次数，以及对概率潮流结果的影响，并获得以下相关结论：

（1）改进LM方法具有良好的鲁棒性，且几乎不受负荷波动程度的影响，增加蒙特卡罗模拟方法求解概率潮流计算收敛的次数，能够得到较精确的概率潮流结果；

（2）负荷波动程度主要影响交流节点电压相角的均值和标准差，特别是在波动程度大的情况下效果更显著，而对概率潮流中的其他变量信息的影响不明显。

致 谢

本文的研究工作得到上海交通大学国家能源智能电网（上海）研发中心的支持，谨此致谢！

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