尹 程, 苏有慧

(徐州工程学院数学与物理科学学院，江苏徐州 221111)

1 引言

在文献[1]中，Hilger给出了一种统一离散分析和连续分析的新的分析理论，即时标分析理论．因为时标分析理论不但具有可以统一连续分析理论和离散分析理论，而且还具有可以解决那些同时包含开关和连续行为的数学模型的良好特性．所以，时标分析理论吸引了许多学者去研究．此外，时标分析理论还具有大量的应用价值，这些应用参见文献[2–4]等．最近几年，有很多文献研究了时标上动力方程解的存在性，如文献[5–9]，这些论文中所用方法主要是各种不动点理论，上下界方法，重合度理论等相关知识．众所周知，变分方法和临界点理论是研究连续或者离散的边值问题解存在性的非常重要的方法，但用变分方法研究时标上边值问题解存在性理论的相关论文还是较少的[10,11]，主要原因是时标上Hilger积分加大了变分原理在时标分析理论中应用的难度．

为了能更好的理解变分方法和临界点理论在研究时标上边值问题解的存在性等相关问题中的应用，下面介绍一些相关的研究结果．在文献[10]中，Agarwal等人用临界点理论和变分方法研究了下述齐次Dirichlet二阶边值问题

其中u∆2(t)=(u∆)∆(t),uσ(t)=u(σ(t))及f:T × (0,+∞) → [0,+∞)，此外，相对于每个x∈ (0,+∞),f(σ(t),x)关于任意的t在时标T上是∆-可测的，且f(σ(t),x)∈C((0,+∞))．研究者得到了边值问题(1)存在至少一个或者两个正解的存在性准则．在不同的研究条件下，他们在文献[11]中又研究了形式如下的齐次Dirichlet边值问题

借助于临界……