戎士奎

(贵州师范学院　数学计算机科学学院，贵州　贵阳　550003)



(n2，(n+1)2)中至少有一个素数的证明

戎士奎

(贵州师范学院数学计算机科学学院，贵州贵阳550003)

摘要：证明(n2，(n+1)2)中至少有一个素数，是一个众所周知的数论难题(华罗庚1979，(美)阿尔伯特· H·贝勒1998)。本文用筛法先证明一个叫做筛不完原理的定理，使用筛不完原理证明了(n2，(n+1)2)中至少有一个素数。还给出素数在自然数中的概率为0的一个新的证法。

关键词：素数；(n2，(n+1)2)中的素数；s层筛法；s层筛法的余数矩阵；筛不完原理

1基本概念

定义1：用由小到大的前s个素数2、3、5、7、…、Ps划掉自然数集N={1,2,…,n,…}中这些素数的倍数，叫做N的s层筛法，记作Rs。例如从N中划去P1=2的倍数，得N1={1,3,5,7,…,2n+1,…}为N的第一层筛法，记为R1。用P1=2，P2=3划去N中2、3的倍数，得N2={1,5,7,…,6n-1,6n+1…}为N的第二层筛法，记作R2…。N的s层筛法也说成用Rn去筛自然数集N或Rn筛N。

定义2：用素数Ps(s=1，2， …)去除N中各数，依次所得余数构成的数列As={1,2,…,Ps-1,0;1,2,…,Ps-1,0；…}叫做Ps的余数数列。

例如P1=2的余数数列A1={1,01,0,…1,0,…}，这是一个周期为2的周期数列。P2=3的余数数列A2={1,2,0,1,2,0…1,2,0…}，这是一个周期为3的周期数列。Ps的余数数列是周期为Ps的周期数列。

定义3：Rs筛N所得s个余数数列构成的s行无穷列矩阵

是一个3×30的矩阵。

2引理

引理1：(n，2n)中至少有一个素数。

推论：第s+1个素数小于第s个素数的2倍，即Ps+1<2Ps。

引理2：Rs可筛光{2,3,4,…,Ps，Ps+1,…，Ps+1-1}。

证明：可筛光{2,3,4,…,Ps}是显然的，而Ps+1，Ps+2,…,Ps+1-1都小于Ps+1，故都能被Rs筛光。

引理3：R3能筛掉n的充分必要条件是n的余数列向量中至少有一个数是0。

证明：若Rs能筛掉n，则有素数Pi(1≤i≤s)是n的因数，有n=0(modPi)，即n的余数列向量的第i个元素为0。反之，若n的余数列向量中第i元素为零，则n=0(modPi)，即Pi(1≤i≤s)可划掉n，Rs能筛掉n。

引理1、4在数论的教科书中都有详细证明，这里不需要再证。……