丁露涛

摘 要：本文针对不支付红利的美式看跌期权定价，介绍了基于B-S模型的美式期权的定价问题，基础阐述显隐式及高精度的高阶有限差分方法，对美式期权定价B-S模型的发展进行了综述，最后，总结了各种方法的特点和效果。

关键词：综述；美式期权定价；B-S模型；有限差分方法

一、引言

期权是最基本的金融衍生工具之一，以付出一定费用为代价获得的一种权力，这种权力赋予期权持有人在将来的某一时刻按照规定的价格买卖合约指定的基础资产。期权已成为最具活力的金融衍生产品，得到迅速发展和广泛利用。其中，美式看跌期权是在期权交易期限内的任何一个时点上，持有者都有按约定价格卖出的权利。实际应用中，美式期权定价问题应用更为广泛，然而，不同于欧式期权定价问题有精确的解析式，美式期权定价问题不存在解析解，它的有关理论和数值方法研究一直是不同学者的花费大量精力钻研的领域。

布莱克和斯科尔斯[1]给出不支付红利下的欧式期权的定价公式重要论文，同年，莫顿[2]可以用来对支付已知红利的期权进行定价，奠定了期权定价理论基础。后来，各类学者在B-S模型基础上做出了大量的理论研究与数值方法探讨。本文主要针对不支付红利的美式看跌期权定价问题，进行各种有限差分方法的综述，首先，介绍了基于B-S模型的美式期权的定价模型，然后，基础阐述显式、更高精度的高阶有限差分方法，最后，对各种方法的特点和效果进行评价。

二、美式期权定价问题的模型

Black-Scholes期权定价模型

布莱克和斯科尔斯推导出不支付红利下欧式期权价格满足著名的B-S方程，进而得到欧式期权的解析式，基本假设有：

利用mathmatic可以得到一个三对角矩阵线性方程组，从而迭代得到最后的期权价值，这里的边界条件和初始条件均不变。

五、结论

对于美式看跌期权的定价，各种文献的数值仿真过程与结果证明：

在最基础的B-S模型上，流行的有限差分直接方法简单易操作，显式差分方法最易，但与隐式差分格式相比稳定性较弱，CN介于显隐式之间比二者效果好，对计算机性能要求低，这些方法都有一个共同的弱点，在时间和空间上的点数过少，最多只能达到二阶精度，最优执行边界不够平滑。高阶有限差分利用更多的点得到空间和时间上的四阶精度，操作比较复杂，必须用到mathmatic进行符号计算，对计算机的性能要求更高，对方法使用人的要求自然也高。

有关美式期权定价有限差分方法的研究还在不断的探讨和发展，因为从理论上讲期权发展是无止境的，从实际上讲期权是复杂多变和应用广泛的，因此，研究探讨美式期权定价有限差分方法的优缺点，对于深入研究复杂期权的定价有重要意义。（作者单位：广东工业大学管理学院）

参考文献：

[1] Fisher B，Myron S.The pricing of options and corporate liabilities，Journal of Political Economy 81（1973）637–654.

[2] R.C.Merton.The theory of rational option pricing.Bell Journal of Economics and Management Science 1（1973）141–183.

[3] Gutachter.Numerical simulation of American options.Universit¨at Ulm Fakult¨at f¨ur Mathematik undWirtschaftswissenschaften.（2004）.

[4] Sukha.Advanced mathematics of finance honours project：finite-difference methods for pricing the American put option.（2001）.

[5] H.K.Versteeg，W.Malalasekera.A introduction to computational fluid dynamics the finite volume method.Pearson Education（1995）.

[6] D.Y.Tangman，1，A.Gopaul，M.Bhuruth.Numerical pricing of options using high-order compact finitedifference schemes.Journal of Computational and Applied Mathematics 218（2008）270 – 280