张和平

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）把“几何直观”增列为核心概念，但是据笔者了解发现，很多小学教师对《标准（2011年版）》第一学段关于几何直观的目标要求有些疑惑，即在第一学段的目标中如何明确“几何直观”的要求？这确实是不能回避的问题，在此作为一个引子提出来供大家讨论。

一、 《标准（2011年版）解读》和新教材的文本分析

1.《标准（2011年版）解读》的表述

《标准（2011年版）解读》[1]指出，在义务教育阶段教学和指导学生学习时，认识和理解“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”这一点是非常重要的。它表明，（从内容上）我们不仅要在几何内容教学中重视几何直观，在整个数学教育中都应该重视几何直观，培养几何直观能力应该贯穿义务教育数学课程的始终。从学段上讲，是指第一、二、三学段中几何直观“都发挥重要作用”，甚至高中和大学。

2.小学第一学段新数学教材文本呈现

《标准（2011年版）》在“教材编写建议”中指出：“对于第一学段的学生，可以采用图片、游戏、卡通、表格、文字等多种方式，直观形象、图文并茂、生动有趣地呈现素材，提高他们的学习兴趣。”[2]因此，直观素材在教材中呈现出多种形式，并且作用也不一样。例如，在西师版[3]一年级上册数学“11-20各数的认识”中，通过捆一捆、拨一拨、说一说、写一写等活动（图1）来认识“数位”（即个位和十位）。在69页的“20以内的进位加法”中，设计蛙跳图文简易图（图2）让学生掌握9+8的加法计算。事实上，把问题设计成一个行程问题，第一次蛙跳了9格，第二次蛙跳了8格，学生通过数格子的方式，计算出9+8的得数。

图2

又如，在西师版一年级下册数学“100以内的加法和减法（二）”中，通过捆一捆、摆一摆、看一看、写一写、议一议等活动，设计实物直观和竖式算的符号直观或图形直观相结合，了解、认识对位和进位加法，让学生明白进位加法的算理。

因此，对小学第一学段新数学教材的分析发现，几何直观不仅在这一学段出现，而且学生已经可以通过各种形式，借助图形描述，思考及分析简单的数学问题，具体涉及数与代数、图形与几何、统计与概率和综合与实践四大领域内容。

二、 专家、一线小学教师及教研员的观点

1.数学教育专家的观点

“几何直观”增设为《标准（2011年版）》的核心概念后，很多数学教育专家都在关注并著文探讨。孔凡哲、史宁中认为，学生在解决行程问题时用的线路图，就是一种简约的、符号化的直观图示。[4]秦德生把几何直观分为实物直观演示、图形直观操作和图形直观表示三种形式。其中，实物直观演示既可以是实际存在物，如球体、柱体、长方形、梯形、圆等，也可以借助计算机、投影仪等辅助性工具演示，引导学生观察、操作，感受和探索图形的特征。图形直观操作分动手操作和运动操作，动手操作主要是折纸、展开、折叠、拼摆、密铺等活动，运动操作包括平移、旋转、反射等运动[5]。

2.一线教师、教研员的认识和做法

蔡宏圣认为[6]，对几何直观中图形的理解可以宽泛些，而且更为重要的是能够表征数学关系，有些图也往往具有数学的模型性。比如，用语言文字表述“一把尺子6元，3把尺子18元”或“一个小组4人，3个小组12人”时，小学生理解比较费劲，而用几何直观的图形语言表示将更清晰（图3）。这样的图示可以用来表示其他具有3倍关系的两种量，具有数学模型价值，比起符号语言来，有形可视。

华旦玲认为[7]，小学生从低年级就开始学习“解决实际问题”，但是他们的思维水平处于形象思维阶段，离不开具体事物的支持。几何直观凭借其直观性特点，在解决问题教学过程中发挥着重要的作用。如在一年级“排队问题”中，针对同学们排队的两类情况：（1）小红前面有4人，后面有5人；（2）从前面数小红排在第4个，从后数排在第5个。教师可以引导学生画如图4所示的图形来帮助理解。在图4中，用两种颜色圆圈区分了小红和其他同学，一目了然，而且准确地表达出“几”和“第几”的不同。这样设计，不仅有利于学生掌握知识，而且还让一年级学生能“感受几何直观的作用”。

综上分析，专家认为小学生可以通过利用简约直观符号、直观图示（如线路图）来解决行程问题等。当前的一线教师和教研员不仅认为小学低段课标目标应该对几何直观有要求，而且他们正在利用几何直观进行教学、解释比较难理解的算理原理、解决数学问题，让学生“初步感受几何直观的作用”，积极培养小学生的几何直观思维能力。

三、 关于第一学段课程目标对几何直观要求的分析

对《标准（2011年版）》的分析不难发现，各学段对“几何直观”的目标要求是不同的。

《标准（2011年版）》中的总目标对三个学段作了笼统介绍，即对课程的要求是：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维”。在学段目标阐述中，第一学段在“数学思考”中的目标要求是：“在从物体中抽象出几何图形、想象图形的运动和位置的过程中，发展空间观念”；第二学段的要求是：“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用”；第三学段是：“经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观”。

从上述分析发现，总目标的“初步形成几何直观”是笼统的，可以理解为整个义务教育中最终（视为第三学段）初步形成的几何直观能力。从各学段目标的表述中发现，学段目标对“几何直观”的要求是：发展空间观念（第一学段）——感受几何直观的作用（第二学段）——初步建立几何直观（第三学段）。《标准（2011年版）》的目标要求这样安排，很好地体现了课程目标是“义务教育阶段的数学课程学习应该达到的目标”要求，符合“逐步提高、螺旋上升”的知识发展规律。但在第一学段是否对“几何直观”有要求？是否有必要提出要求？下面就对这些问题做一些探讨。

1.在第一学段课标已暗含几何直观的要求

在第一学段“数学思考”中的目标要求是：“在从物体中抽象出几何图形、想象图形的运动和位置的过程中，发展空间观念”。这句话对几何直观已经提出要求。一方面，“从物体中抽象出几何图形”是几何直观思维活动的基础，没有“几何图形”哪来“利用图形描述和分析问题”？因此，把物体抽象成几何图形，掌握基本的几何图形知识是小学第一学段“图形与几何”课程学习的目标之一。另一方面，从目标要求中可知，主要是“发展空间观念”。事实上，空间观念是几何直观发展的基础，他们共同构成“图形与几何”课程的主要目标。刘晓玫认为，“具备良好的空间观念对发展几何直观能力会起到积极的作用。能够恰当地运用图形分析描述问题，想象是很重要的，虽然其中还有很多其他影响因素。正是由于这样的原因，在对空间观念所反映的一些具体要求的有些表述中，会提到几何直观，或数形结合、代数问题的几何解释等。”[8]孔凡哲等也认为，“几何直观与空间观念有重叠的成分，诸如，‘根据几何图形想象出所描述的实际物体等。……几何直观与空间观念在几何活动中共同发挥作用。”[4]因此，基于上述分析，第一学段的课程目标对“几何直观”已经提出了要求。

2.进一步的讨论

从前面的分析中知道，在第一学段课程目标中已经对几何直观提出明确的要求。但从教材分析、专家认识和教师教学等可知，在小学第一学段不仅仅是学习掌握几何图形知识，而且已经大量出现了“利用图形描述和分析问题”的案例。针对这些事实，应该有对几何直观“初步感受”的要求。

第二学段的课程目标要求是“感受几何直观的作用”。关键动词是“感受”。在《标准（2011年版）》中过程目标的行为动词有“经历”“体验”“探索”等，在《标准（2011年版）》的附录1“有关行为动词的分类”中解释“经历”的同类词是“感受”“尝试”。即“感受”等同于《标准（2011年版）》中的行为动词“经历”。在《标准（2011年版）》中对“经历”的解释是：“在特定的数学活动中，获得一些感性认识”。从这个解释中发现，课程目标的“感受几何直观的作用”要求是非常低的。在第一学段学生有“先验的直观物质基础”“先天直观形式”，在课堂上教师已经大量使用“实物直观”进行教学，学生能够使用几何直观把复杂问题变成直观形象，利用图形认识数学、描述和分析问题，利用几何直观理解数学等。尽管第一学段的学生几何直观思维能力还是低水平的，表现为实物化、可视化、单一化、规则化等特点，但是，学生能够“初步感受几何直观的作用”是没有问题的，学生有足够的能力达到这个要求。换句话说，小学第一学段学生通过数学课程学习后能够达成“感受几何直观的作用”的目标要求。

从上述分析中可知，在小学数学课堂教学中我们可以放心地按照教材要求、结合学生的实际需要实施教学，不必担心小学第一学段数学课标没有明确对“几何直观”提出要求而害怕超纲、束缚我们的课堂教学。

参考文献

[1] 史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3] 宋乃庆.义务教育教科书·数学（1-3年级）[M].重庆：西南师范大学出版社，2012.

[4] 孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法，2012（7）.

[5] 秦德生.几何直观的内涵、表现形式及教育价值[J].福建教育，2012（12）.

[6] 蔡宏圣.几何直观：小学数学教学的视角[J].课程·教材·教法，2012（5）.

[7] 华旦玲.几何直观在小学低年段解决问题教学中的应用[J].江苏教育研究，2014（12A）.

[8] 刘晓玫.再从“几何直观”谈起[J].小学教学（数学版），2012（7-8）.

【责任编辑：陈国庆】