摘 要：利用三角形网格均匀面积参数化的思想，提出了有理参数曲面上曲面片的最优参数化评判标准。根据构造具有几何意义的二次代数曲面有理参数化方法，确定了二次代数曲面上指定曲面片的最优或逼近最优的有理参数化方程。最后通过实例对该方法与传统方法得到的参数化结果进行了对比。

关键词：代数曲面；参数曲面；均匀面积参数化；最优参数化

引言

曲面表示形式主要有参数曲面和代数曲面两种，它们各有其内在的优点，能否将两种形式的曲面进行有效的转换，一直是CAGD的重要研究课题之一[1-3]。从数学意义上讲，二次代数曲面的有理参数化问题已完全解决了，但还远不能满足工程制造、医学研究等领域实际应用的需求。

目前，传统的代数曲面参数化算法有很好的显示效果，根据旋转角度的变化构造的曲面图形具有很好的视觉性和美观性。但是很难做到在参数均匀选取时，能有均匀的参数化效果。三角形网格曲面参数化[4-5]一直是曲面造型领域的热点问题，但通过三角网格对曲面进行参数化，它只是对物体形状的逼近，且需要通过3D扫描技术获得曲面表面的所有网格点的几何信息，然后通过拓扑重建得到三角网格的参数化。这种方法的缺点是需要采集曲面上的所有点并存储到计算机内，并且这种参数化得到的网格也不是均匀的。

文章利用三角形网格均匀面积参数化的思想，提出了衡量有理参数曲面上曲面片的最优参数化评判标准。提出了具有几何意义的二次代数曲面有理参数化的构造方法，且通过该方法，得到了二次代数曲面上任意曲面片的最优或逼近最优的有理参数化方程。大量实例表明，文章方法计算量小，效率高，效果好。

1 问题描述

设f（x，y，z）是关于x，y，z的三元二次多项式，方程f（x，y，z）=0定义了一个二次代数曲面C。S是曲面C上的三角形曲面片，其三个角点为Vi，j，k，平面Hi，j，k分别经过角点Vj和Vk，Vi和Vk，Vj和Vi，边界线Li，j，k是平面Hi，j，k与二次曲面C的交线，三个角点Vi，j，k所在平面为H，i，j，k=1，2，3，且互不相同。如图1所示。

事实上，在确定三角曲面片S的三个角点的参数为（0，0），（0，1），（1，0）后， 当M点遍历C-S时，就得到了对应于S的所有二次有理参数方程。因此，上述参数化方法实际上确定了S的二次有理参数方程的几何意义。特别，当平面H1，H2，H3的交点恰好在曲面C上，并将其取为M时，曲面片S所对应的参数范围为以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的直角三角形；当平面H1，H2，H3的交点在曲面C外，此时，曲面片S所对应的参数域曲边三角形是只有一边为曲边的曲边三角形。

4 最优参数化

根据上节二次代数曲面有理参数方程的构造方法，若要得到曲面S的最优有理参数化方程，只需找到点M，使其对应的？祝（P（u，v））最小。首先找出曲面片S上的三条关键曲线，利用文献[6]和文章代数曲线的参数化算法，得到最优时对应的点Mi（i=1，2，3）；然后利用Mi构造曲面片S的最优参数化方程。基本步骤如下：

（1）记平面Hi，j，k两两相交的交线分别为gij，gjk，gik，Vi，j，k两两相连的中点分别为Vij，Vjk，Vik，则过gij和Vij，gik和Vjk，gik和Vik的平面为Ei，j，k，称Ei，j，k与S的交线di，j，k为曲面片S的三条关键曲线。求交线di，j，k的最优有理参数化方程，找到对应的最优参数化点Mi，j，k，其中i，j，k=1，2，3且互不相同。（2）记点Mi，j，k所构成的三角形的重心为Q0，记角点Vi，j，k所构成的三角形的重心记为V0，连接V0Q0，与曲面C交于两点，则在曲面C-S上的一点即为曲面片S的最优参数化点M。（3）将M带入公式（1）（2）（3），得到的就是曲面片S的最优参数化方程。

5 实例分析

6 结束语

文章提出了衡量空间代数曲面最优有理参数化的评判标准。理论上，最优有理参数化方程可求，但是计算量非常大。文章根据二次代数曲面有理参数方程的几何意义，构造出了二次代数曲面上任一三角曲面片的十分接近于最优的有理参数化方程，所用计算量小，效率高。但由于曲面本身的性质决定，其参数域范围是一个由三条二次曲线组成曲边三角形，在使用时会带来不便。因此，在实际应用中，可以选择用平面Hi，j，k与曲面的交点所对应的参数域（只有一边为曲边的曲边三角形），来寻找最优。

参考文献

[1]孟祥旭，徐延宁.参数化设计研究[J].计算机辅助设计与图形学报，2002（11）：1086-1090.

[2]白晓亮，张树生，刘军.基于网格简化的参数化方法[J].计算机辅助设计与图形学学报，2004，16（12）：1743-1749.

[3]王相海.一类三次隐式代数曲面参数化研究[J].计算机研究与发展，2003，40（6）：821-824.

[4]厉玉蓉，张彩明.三角网格上的代数曲面重建[J].计算机辅助设计与图形学报，2007，19（4）：460-463.

[5]姚建强，何援军.三角网格曲面的球面参数化[J].工程图学学报，2010，4.

[6]厉玉蓉，胡芳刚.平面二次代数曲线的最优参数化[J].图学学报，2012，33（2）：49-52.

作者简介：侯倩（1988-），女，硕士，主要研究方向为计算机图形学。