周军高

问题：一辆自行车在一条平直的公路上行驶，公路各处的路况均相同。现有一种轮胎，若将其安装在这辆自行车的前轮处，则行驶5000 km后报废；若将其安装在这辆自行车的后轮处，则行驶3 000 km后报废。如果自行车安装一对新的这种轮胎，行驶一定路程后，我们将前后轮胎交换位置。使这对轮胎能同时报废，那么这辆自行车最多能行驶多远？

分析：对于这个问题，要想直接分析出相关的数量关系并不容易，不妨设出未知数。借助式子分析相关的数量关系，并列出方程进行求解。

所以这辆自行车最多能行驶1875+1875=3750（km）。

思考1：前面列方程的依据是每个轮胎的剩余量除以其单位路程内的磨损量得到的路程相等，这是本题中隐含的一个相等关系，也是解决问题的关键。细心的同学会发现。在前面的结论中，自行车在换胎前后行驶的路程相等（都是1875 km），这是巧合，还是隐含的内在规律呢？带着疑问，我们探索如下。

由此可知，两个轮胎同时报废的话，自行车在换胎前后行驶的路程相等。这不是巧合。而是隐含的内在规律！有了这个内在规律，解答此题就容易多了。

新解法1：得到自行车在换胎前后行驶的路程相等这一结论的过程从略。

设自行车行驶x km后交换前后轮胎的位置。则又行驶x km后两个轮胎同时报废。

新解法2：设换胎前后自行车行驶的路程分别为x km、y km。

所以这辆自行车最多能行驶3 750 km。

思考3：再观察新解法2的方程组中未知数的系数，不难发现，我们不需要解方程组，只要将两个方程相加就可以求解问题。

新解法3：设元、构造方程组的过程同上。

将方程组中的两个方程相加。得

所以这辆自行车最多能行驶3 750 km。

思考5：以上几种解法都是基于设每个轮胎的磨损总量为单位1，这样设起来简单，但计算时稍显烦琐（因为有较大的分母），能否换一种方法，使得计算较为简便呢？

新解法5：设每个轮胎的磨损总量为15 000k（因为5 000和3 000的最小公倍数是15 000），则自行车每行驶1 km，前轮、后轮处轮胎的磨损量分别为3k、5k。再设换胎前后自行车行驶的路程分别为x km、y km。

所以这辆自行车最多能行驶3750km。

思考6：随着研究的深入，问题中隐含的规律愈加明显，所发现的新解法也越来越多。越来越巧妙。再看新解法5的方程组中的3、5、8、15 000，突然有一种灵感，又得到一种新解法。

新解法6：如果准备8个（4对）新轮胎。不管是在前轮处还是在后轮处，每个轮胎只要报废了就换新的，那么，前轮处共报废3个新轮胎，行驶的最远路程为15 000 km，后轮处共报废5个新轮胎，行驶的最远路程为15 000 km。从而可知。4对新轮胎最多能行驶15 000 km，这样，一对新轮胎最多能行驶15 000÷4=3 750（km）。

下面针对这类问题给出一般结论：一辆自行车在一条平直的公路上行驶，公路各处的路况均相同。现有一种轮胎，若将其安装在这辆自行车的前轮处，则行驶akm后报废；若将其安装在这辆自行车的后轮处，则行驶6 km后报废。如果自行车安装一对新的这种轮胎，行驶一定路程后，我们将前后轮胎交换位置，使这对轮胎能同时报废，那么这辆自行车最多能行驶2ab/a+bkm。这个结论我们似乎见过，请同学们做一做下面的练习题，相信大家一定会有所感悟！

1.一辆汽车先从甲地到乙地，再沿原路返回。若汽车从甲地到乙地的速度为akm/h。返回时的速度为6 km/h。则汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少？

2.小明从火车站回家。前一半时间乘公共汽车，后一半时间步行，已知乘公共汽车行完全程需要ah，步行走完全程需要6 h，那么小明从火车站到家需要用多长时间？

3.有一项工作，甲单独做需要口天完成。乙单独做需要6天完成。现在要求前一半时间由甲单独做，后一半时间由乙单独做，则完成这项工作需要多少天？