罗鑫

摘要：本文从多个方面介绍了抽象函数的应用，特别是从平移的角度说明了抽象函数的对称问题，并就典型例题加以分析解答，对学生的常见错误进行了剖析。

关键词：抽象函数；定义域；周期；对称；平移；解析式

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0114

抽象函数的有关内容一直是学生学习的一个难点，关于抽象函数题目类型较多，形式灵活多变，考查内容无论从深度和广度，给人耳目一新的感受，现就其中几个主要问题加以分类解析。

一、求抽象函数的定义域

1. 若已知函数f [g（x）]的定义域为x∈（a，b），求函数f（x）。

解决这类问题的方法是：利用a

例1. 已知函数f（x+1）的定义域是[-2，3]，求y=f（x）的定义域。

解：因为函数f（x+1）的定义域是[-2，3]，所以-2≤x≤3

所以-1≤x+1≤4， 因此y=f（x）的定义域是[-1，4]

2. 若已知函数f（x）的定义域为x∈（a，b），求f [g（x）]函数的定义域。

解决这类问题的方法是：a

例2. 已知函数f（x）的定义域为（0，1]，求函数g（x）=f（x+a）+f（x-a）（-

解：因为函数f（x）的定义域为（0，1]

所以0

由于-

所以不等式组（Ⅰ）的解为-a

即g（x）=f（x+a）+f（x-a）（-

二、抽象函数的周期性和奇偶性

1. 抽象函数的周期性

例3. 定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（x+2），且当x∈（-1，1]时，f（x）=x2+2x，

求当x∈（3，5]时，f（x）的解析式。

解：∵f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）

∴f（x）是以4为周期的周期函数

设x∈（3，5]时，则-1

∴f（x）=f（x-4）=（x+4）2+2（x-4）=x2-6x+8（3

评注：若对函数f（x）定义域内的任意，恒有下列条件之一成立（以下式子分母不为零，a≠0）

①f（x+a）=-f（x） ②f（x+a）= ③f（x+a）=-

④f（x+a）=- ⑤f（x+a）=- ⑥f（x+a）=f（x-a）

则函数f（x）是以2a为周期的周期函数①

2. 抽象函数的奇偶性

奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，有时为了便于判断函数的奇偶性，也往往需要先将函数进行化简，或运用定义的等价形式，但对于抽象函数的奇偶性的判断主要是用赋值法，构造出定义的形式。……