石利丹

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的；不等式问题也与方程密切相关的。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程（组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解的思维方式。有时，还实现函数与方程的互相转化。这种思想在代数、几何中有着广泛的应用。

一、方程思想在代数中的应用

1.方程思想与整式的结合

【典例分析】若最简根式与根式是同类二次根式，求a，b.

分析：利用同类二次根式的定义可以得到根指数相等和被开方数相等的信息。从而列出一个关于a、b的二元一次方程组解得a、b。

2.方程思想与勾股定理的结合

【典例分析】小宇手里有一张直角三角形纸片ABC，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使AC落在斜边AB上，且C点与E点重合，（如图）小宇经过测量得知两直角边AC=6cm，BC=8cm，他想用所学知识求出CD的长，你能帮他吗？

分析：此题以△BED为直角三角形作为隐含条件，先由勾股定理求得AB=10cm，设CD=xcm，则DE=xcm，在Rt△BED中，借助勾股定理建立方程。

∵BD=（8-x）cm，BE=4cm，

∴，

解得x=3，即CD=3cm。

3.方程思想与函数的结合

方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法，都是通过建立相等关系，求出未知数的值，因此函数问题的关键就是找出相等关系，建立变量之间的等量关系求解，要求对变量所涉及的相关知识要比较熟练，这是轻松求解函数问题的必要基础。

【典例分析】如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6；

求△COP的面积；

求点A的坐标及p的值；

△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。

分析：①首先利用C点坐标和P点坐标，求得SΔCOP=。②利用△AOP的面积和△COP的面积可知△AOC的面积，从而求得A（-4，0）；再利用用待定系数法求得直线AC的解析式，将P点的横坐标代入解析式，求出P点纵坐标；③设出D（0，m），利用△BOP与△DOP的面积相等列出关于m的方程，通过解方程求出m的值；再利用用待定系数法求得直线BD的解析式，

此类问题常见的形式和解题方法是：①用待定系数法列出关于函数解析中待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出特定系数的值。

4.方程思想与解直角三角形的结合

解直角三角形是介于代数与几何之间的一部分内容，是充分体现数形结合的典型，这部分更应该建立相等关系，建立方程求出未知数的值。

【典例分析】（2011广东汕头，）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30°，∠ABD=45°，BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；）

【解】设小明家到公路l的距离AD的长度为xm.

在Rt△ABD中，

∵∠ABD=，∴BD=AD=x

在Rt△ABD中，

∵∠ACD=，

∴，即

解得

小明家到公路l的距离AD的长度约为68.2m.

解题的主要方法：（1）利用勾股定理建立方程 （2）利用三角函数建立等量关系， （3）利用图形的性质建立等量关系 。

5.方程思想与实际问题

【典例分析】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

总利润=每件利润×销售量.设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，据题意可得利润表达式，再求当w=1200时x的值；

解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，根据题意得

（1）当w=1200时，，解之得.根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元.

答：每件衬衫应降价20元.

二、方程思想在几何中得应用。

数与形的结合历来都是公认的求解数学问题的理想方法，它会使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，两个未知数列两个方程.这类问题与例方程解应用题一样，要找出试题中所建立相等关系条件（也就是找出其中的相等关系），设适当的未知数建立方程求解，当然有的题目相等关系很容易找，而有的题目相等关系需要读者必须具备分析问题和解决知识的能力才能从中挖掘出来，也就是要有一定的数学解题能力，现在就不同的内容怎么样建立方程解决问题做一些讲解和分析。

1.方程思想与三角形中的结合

【典例分析】如图，D是△ABC的BC边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数.

解题思路：可设∠1=x，则∠2=x，利用外角性质∠3=∠4=2x，然后在△ABC中利用三角形内角和找到等量关系，列出方程：，解得：x=39°，最后得出：∠DAC=24°.

2.方程思想与相似三角形结合

【典例分析】如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.

求证：

求这个矩形EFGH的周长.

解：∵四边形EFGH为矩形

∴EF∥GH

∴∠AHG=∠ABC

又∵∠HAG=∠BAC

∴ △AHG∽△ABC ∴

（2）由（1）得设HE=x，则HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x

可得=，解得，x=12 ， 2x=24

所以矩形EFGH的周长为2×（12+24）=72cm.

主要运用相似三角形对应高之比等于相似比.设出HE为x，建立等量关系。