孙亚庆

物体间通过力的相互作用，交换运动，也彼此制约着对方的运动。牛顿第二定律是为它们之间相互作用，相互交换运动制定的共同遵守的法律约定合同，是它们平等运动于宇宙时空的行为准则，不得违背。牛顿第二定律是力学中进一步向能量守恒和动量守恒方向发展的基石，是物理学最为基础的知识。学好它是物理学第一位的任务。

一、应用牛顿第二定律解题的一般步骤

（1）确定研究对象，分析它的受力情况，画出受力图。注意不能遗漏任何一个力，又要避免重复，因为物体最终所获得的加速度为所有外力共同作用的结果。

（2）找出所受外力的合力表达式，采用正交分解。通常其中一坐标轴选为加速度所在的方向比较容易计算。

（3）应用牛顿第二定律列出方程，求解作答。在求解过程中，一般先进行字母运算，得出解答的一般形式，然后再代入数值进行计算，这样不但可以减少烦琐的数字运算，而且还能获得题中相关量之间的变化关系。

（4）对结果在各种条件下进行讨论，达到举一反三的效果。

二、单个质点的动力学问题

例1、一木块能在与水平面成α角的斜面上匀速滑下，若使它以初速度v0沿此斜面向上滑动，试证它能上滑的最大距离

解：（1）先分析木块匀速下滑的过程，木块受重力G、弹力N，动摩擦力f，如图1-a所示，运用正交分解有

又f=u·N

解得：

（2）用同样的方法分析木块的匀减速上滑过程，受力如图1-b所示，根据牛顿第二定律得：

其中f=u·N=G·sinα

解得：a=2g·sinα（1）

由运动力学规律和（1）式得：

v02=2a·s

讨论：①如果tanα=u，即斜面倾角满足此条件式时，木块正好能匀速下滑。

②如果tanα>u，物体将匀加速下滑。

③如果tanα

三、多个质点构成的物体系的动力学问题

上面讨论的是单个质点的动力学问题，但是在实际问题中，会经常遇到几个有相互作用力的物体系的动力学问题，这种情况一般都采用“隔离法”来求解。

所谓“隔离法”就是根据需要把研究对象从整个物体系中“隔离”出来，当作单个质点问题审查处理。具体步骤如下：

（1）选择“隔离体”。一般先选已知条件比较齐全的物体作为“隔离体”，后选其它的物体。

（2）根据牛顿第二定律解题的一般步骤，对每一个“隔离体”运用正交分解法列方程。

（3）如果独立方程的个数少于未知量的个数时，要考虑相互联系着的个体之间的作用力与反作用力的相等关系。

（4）为了解答相互联系着的物体的动力学问题，还必须写出由运动学条件所确定的各“隔离体”之间的加速度关系。通常情况下，各连接体的位移、速度、加速度全都相等。

例2、一条轻绳子跨过定滑轮，在轻绳子的两端各挂有物体A、B，如图-2示，已知mA=0.5kg，mB=0.1kg，开始时物体A离地面h=35cm。

求：（1）A物体下落的加速度大小？

（2）A物体落地时的速度大小？

（3）A物体落地后，B物体还能继续上升多高？

解：（1）根据牛顿第二定律有：

对于A：GA-T=mA·aA①

对于B：T-GB=mB·aB②

据题意有aA=aB=a，由①+②得GA-GB=（mA+mB ）·a③

③式所表达的含义是将A和B视为一整体，内部之间通过绳子的相互作用力已彼此抵消，运用牛顿第二定律得出的结果，即：A+B=AB.

（2）A物体拖着B物体从静止开始匀加速下降，加速距离为h，最终得到的落地末速度为：

（3）A物体着地后，绳子失去对B的拉力，B仅受重力，开始以初速度Vt作竖直上抛运动，直至速度减为0

例3、质量m1=4kg和m2=8kg的两个物体，用一轻绳相连，沿着倾角为30°的斜面下滑，如图-3示，若m1与斜面间的动摩擦因数为0.25，而m2与斜面间的动摩擦因数为0.50。

求：（1）各个物体的加速度？

（2）绳的拉力？

解：（1）由于绳的牵连，m1和m2具有相同的加速度a，可视为整体，如图-3a示，根据牛顿第二定律有：

（m1·gsin30°+m2·gsin30°）-（m1·gcos30°u1+m2·gcos30°u2）=（m1+m2）·a

上式第一项g·sin30°为重力的分力——下滑力产生的沿斜面向下的加速度，后面两项和为动摩擦力产生的沿斜面向上的加速度。可见每个力都对加速度有贡献，少算或多算任何一个力都不行，因为这相当于少算或多算了它们各自对加速度的贡献，肯定是错的。

（2）要计算绳子的拉力，需从绳子处分割开，单独研究m1或m2，把绳子的拉力变成它们的外力才可以。因为内力是物体内部各部分之间的力，彼此间抵消，对整个物体不产生加速度效应。只有外来的力才一定对物体产生一定的加速度。

“隔离”出m1，受力如图-3b示：

根据牛顿第二定律有：

对于连接体问题，一般先采用“整体法”求出加速度，再用“隔离法”求出彼此之间的作用力。要得出正确的结果，准确的受力分析是关键。

拓展思考：如果两物体与斜面间摩擦因数相等，两物体将如何运动？T是多大？

例4、如图-4，A静止于光滑的水平面上，板A与物体B质量依次为M、m，若物体相对于水平面的初速度为v0，物体B与A板间的动摩擦因数为u，A木板长为L，B物体的长度忽略不计，求：（1）物体A和B板的加速度；（2）初速度v0满足什么条件时，物体B最终不从A板上滑下来。

解：（1）由于A和B的加速度不相等，只能用“隔离法”单独研究，对于A受力如图-4a示，

对于B，受力如图-4b示，

u·mg=m·aB

aB=u·g

很显然彼此之间的动摩擦力虽然相等，但作用在质量不等的两个物体身上，各自获得加速度并不相等。

（2）要使物体B不从A板上滑下来，必须满足当A和B最终的速度相等再不发生相对滑动时，B在A上滑过的距离不大于L。

设它们的最终速度为V，根据题意有：

联解得：

拓展思考：如果B在A上滑过的距离大于L，B最终能从A上滑出，A、B各自的滑出速度如何算？