刘江

近日拜读了梁勤旺老师的《由一道教参弃选题谈数学解题反思》（《中小学数学》（初中版2015年1-2期））以及祝立新老师的《解题勿犯条件性错误》（《中小学数学》（初中版2016年1-2期））两篇文章，两位老师分别从“解题后反思的重要性”及“解题时勿犯条件性错误”两个角度谈了自己的看法，本人收获很多，感触颇深，对老师们的严谨治学也深表钦佩。但两位老师对该题的一些教学策略本人不敢苟同，本人将从该题在实际教学中不同的教学策略导致不同教学效率的角度谈谈自己的看法，望同行指正。

教参弃选题原题呈现：已知，求的值。

接着作者给出了三种解法：

解法一（教参解法）：由已知得x≠0，

∵，∴，

∴，∴；

∴，

∴

作者点评（要点）：解法不循常规，灵活运用倒数的意义和整体代换的思想而简洁求解。

解法二（学生解法）：由已知得，∴Δ<0，∴原题错误。

作者点评（要点）：解法二结构完整，思路连贯，解答过程完美无缺。

解法三（整体带入法）：

∵，∴，

∴，得，

∴。

在实际教学中，如果采用解法一的解题策略进行教学，虽然解法一“不循常规、活用倒数意义、运用整体思想”，但又有多少学生能够在有限的时间内经过如此复杂的变形而顺利得到解答呢？同时，如果学生要问：老师，你为什么要这样变形？你是怎样想到的呢？试问老师们，你将如何帮助学生解答心中的疑惑呢？本人认为解法一虽然解法漂亮，技巧性高，但对于学生来说不是通解通法，不符合学生的自然思维规律，因为这种需要具有复杂的层次思维，较强的构造意识才能顺利解答此题。

我认为学生运用解法一解答此题必须经过这样几个复杂的思维过程：

第一步：将已知取倒数：；

第二步：逆用分式加减法则：；

第三步：用等式性质变形得整体：；

第四步：将代数式取倒数：；

第五步：逆用分式加减法则：

；

第六步：分析两个整体与的关系；

第七步：将化为；

第八步：代入计算；

第九步：将计算结果取倒数。

请问：如此复杂的层次思维，有多少学生能够顺利理清？如果不是在第五步出现，又有多少学生知道前面三步的变形目的？因此，使用这种解法进行教学，即使学生掌握了运算的方法，也必是“知其然而不知其所以然”的机械式模仿学习，这样的教学又有何高效可谈？

同时，在实际教学中，如果采用解法三的解题策略进行教学，同样也会让学生在学习中云里来，雾里去，学生根本不知道“为什么要运用已知构造x2+1，并且还要将它进行平方呢？”，直到构造出分母x4+x2+1，学生可能才有所明白，在这里，学生可能会问：“老师，你是怎么知道要去构造x2+1的呢？你又是怎么知道要将x2+1进行平方呢？你又是怎么知道x4+x2+1的值能与分子x2进行略分呢？”。请问老师们，你又将如何回答学生呢？

本人认为，解法三和解法一都是技巧性很高的解题方法，以这些方法进行课堂教学，是纯粹为“教方法”而教，完全脱离学生实际，会导致学生机械性的模仿学习，这样的教学根本未考虑学生“在想什么”，未考虑学生“最自然的解题思维”，在课堂教学中大多会出现教师自编、自导、自演的课堂，学生在课堂上成了接收的机器，请问：这样的课堂效率在哪里？。

那么，对于这道教参弃选题，学生在解答时到底在想什么？他们最自然的解题思维又是什么呢？本人认为解法二才是学生“最自然的解题思维”，也是祝老师在《解题勿犯条件性错误》中提到的“它是课程改革极力提倡的通法同解”，因为学生在解题时，在已知的情况下，很自然的想到“先求出x，然后将x的值代入”，这也是学生“最自然的解题思维”。我也赞成祝老师的观点：第一、这种解法的突出问题是可能使时后面代入求值时运算繁琐。第二、在已知条件的前提下，该方程实数范围内无法解答。但老师们忽略了一个问题：方程在化为整式方程后是一个一元二次方程，不管这个方程在实数范围内有解还是无解，对于初二学生来说超出了课程标准的范围，无法求解一个一元二次方程。从这一角度来看，恐怕也是教参弃选的原因之一吧。

纵观作者给出的这三种解法，本人认为在课堂教学中都是不适宜的，都会导致课堂教学的低效性。那么这类题目对于初二学生来说在课堂教学中是否有“适合学生自然思维的符合课标要求的解题方法呢？

下面对这类题目介绍一种解法，供大家参考。为体现命题的严谨性，本文采用祝老师在文中改编的一道题目来说明。

题目：已知，求的值。

诚如祝老师所说，如采用解法二（通解通法、符合学生的自然思维），求解出方程的解（暂且不谈超出课标要求）是两个较复杂的无理数，然后分别代入，经过复杂的运算（含有复杂无理数的四次方）得到相同的结果。在这种运算强度和难度都较大的情况下，教师应该顺势组织学生尝试新的解法，但我认为不宜引导学生尝试使用解法一（原因前面已论述），不妨引导学生观察代数式中字母的次数，发现出现了x4，如何消去x4呢？鼓励学生大胆运用“降次”思想，先消去x4（符合学生的自然思维：次数高了先降低次数），降低字母的次数再看，如何消去x4呢？需要先构造x4，如何构造呢？可由x2平方得到x4。具体如下：

解：∵，∴x2-x+1=2x，

∴x2=3x-1，∴x4=（3x-1）2=9x2-6x+1，

∴==做到这里，学生的思维可能又堵上了，不妨引导学生再次“降次”嘛，又将x2=3x-1代入，∴====，此时再引导学生观察分子与分母的关系，约分即得结果为。

此种解法，运算强度不大，符合学生课标要求（不必求解一元二次方程），符合学生的自然思维（字母次数高了，想办法降低），两次运用“降次”思想将字母从四次方降低到一次方，运用“构造”的思想分别构造出x2和x4，最后运用“整体”思想将分子与分母约分得到解答。在实际教学中，采用这种解法的教学策略，既对学生强化了“降次”思想和“构造”意识，也渗透了“整体”思想，又降低了运算强度，在这样的教学策略指导下的教学效率能不高吗？

教师在教学中不能一味的追求“独特方法”和“高超技巧”，脱离学生实际，在“臆想”中教学，这样的教学必然是低效的甚至是无效的。