毕天姝　王　清　薛安成　夏德明

(1.新能源电力系统国家重点实验室(华北电力大学)　北京　102206

2.国家电网公司东北分部　沈阳　110180)



基于状态矩阵和摄动理论的双馈风力发电机与同步机小扰动互作用机理

毕天姝1王清1薛安成1夏德明2

(1.新能源电力系统国家重点实验室(华北电力大学)北京102206

2.国家电网公司东北分部沈阳110180)

摘要随着大规模双馈风力发电机的并网，研究双馈风力发电机与同步机间的小扰动互作用机理值得重视。为揭示该互作用机理，首先分析了双馈风力发电机端电压相角变化与转子侧矢量控制的关系；然后建立了风力发电机端电压相角变化和锁相环与电网电压角频率偏差的关系方程，在此基础上，基于单同步机单双馈风力发电机无穷大系统，建立了风力发电机锁相环与同步机功角耦合的状态矩阵，并采用摄动理论和模态分析研究了该状态矩阵对应模态间的耦合互作用，揭示了风力发电机锁相环模态与同步机功角模态间互作用的产生机理；最后，通过模态及其主导状态变量与参与因子的比较验证了分析结果的正确性。

关键词：双馈风力发电机小扰动互作用状态矩阵摄动理论锁相环

0引言

风力发电是实现我国能源与电力可持续发展战略的重要举措。随着风电并网容量的日益增长，其对电力系统小扰动稳定性的影响越来越显著，风电并网对系统小扰动稳定的影响也越来越受到研究者的重视[1-3]。

我国现有风电场中主要采用双馈风力发电机(Double-fed Induction Generator，DFIG)，其结构和动态特性有别于传统同步机，因此有必要研究双馈风力发电机与同步机间的小扰动互作用。针对该问题，近年来，国内外学者开展了大量研究[1-18]。文献[4]从4方面总结了双馈风力发电机接入后对系统振荡模态影响的可能机理：①替代系统中已有的同步机；②替代含电力系统稳定器(Power System Stabilizer，PSS)的同步机；③改变系统潮流；④风力发电机动态与同步机机电振荡模式的交互作用。文献[5-16]结合时域仿真和特征值分析法，分别从双馈风力发电机替代同步机、系统运行方式和网络结构变化等系统因素变化和双馈风力发电机接入方式、运行模式、出力水平和控制策略等双馈风力发电机/风场因素变化角度，研究了双馈风电并网对系统振荡模式和阻尼特性的影响。以上研究从系统振荡模式特性变化的角度对风电并网影响系统小扰动稳定问题进行了探索，但由于研究的系统不同，结论可能存在很大差异，难以揭示其影响的本质。文献[17，18]通过解析的方法分析了风电并网对系统状态矩阵的影响，一定程度上揭示了风电并网对系统机电振荡模式阻尼的影响本质。文献[19]分析了锁相环动力学特性对系统机电振荡模式的影响，从风力发电机动态与同步机振荡模式交互作用的角度对风电并网影响系统振荡模式的机理进行了初步探索。

现有研究侧重于风力发电机替代同步机和改变系统潮流对系统机电振荡模式和阻尼特性的影响分析，而对风力发电机动态行为特性与同步机振荡模式交互作用机理的分析相对缺乏。

本文从状态矩阵的角度对双馈风力发电机与同步机的互作用机理进行了分析。首先分析了双馈风力发电机端电压相角变化与转子侧矢量控制间的关系，然后基于单双馈风力发电机单同步机无穷大系统，建立了双馈风力发电机锁相环与同步机功角的耦合状态矩阵。在此基础上，采用摄动理论分析了双馈风力发电机锁相环与同步机功角强弱耦合情况下的互作用。最后，通过状态矩阵的模态分析对双馈风力发电机锁相环模态与同步机功角振荡模态间的互作用进行了详细分析。

1DFIG端电压相角与矢量控制关系

对于并网双馈风力发电机，为了产生与电网频率一致的端电压，普遍采用锁相环技术，由风力发电机并网点电压获取电网电压的频率和相位，并在P-Q解耦矢量控制的作用下使得转子侧变换器产生转差频率的交流励磁电压，进而在转子中产生与电网相同频率的空间励磁磁场，感应出同步频率的定子端电压，其原理如图1所示。其中双馈风力发电机模块的动力学方程可以表示为

(1)

式中，x、z、u分别为风力发电机状态变量、代数变量和输入变量；f、g分别为微分方程和代数方程。详细方程可参考文献[20]。

下面通过理论分析说明整个过程中风力发电机端电压相角变化与风力发电机各环节的关系。

假设双馈风力发电机定子三相端电压vabc_s为

(2)

图1　DFIG模型与矢量控制框图Fig.1　Block diagram of the model and vector control of DFIG

式中，θs为电压相角，θs=ωst+σ，其中σ为相角初值；ωs为定子电压角频率；Vs为端电压幅值。

根据双馈风力发电机工作原理，可知式(2)所示三相端电压经过图1所示DFIG模型与矢量控制环节后产生的定子三相输出端电压v′abc_s可表示为

(3)

式中，θ′s=θr+θm，其中θr为转子位置角，θm为励磁电流相角；V′s为电压幅值。因此，经过DFIG定转子绕组与矢量控制环节后，定子端电压相位偏差为

(4)

根据图1所示框图有

(5)

(6)

对于图1中矢量控制，vdr与Pref呈比例、vqr与Qref呈比例，且比例系数相同，从而式(5)可改写为

(7)

式中，kprop为比例系数。

(8)

同时，根据相角与角频率的关系可得

(9)

(10)

(11)

式中，ε为相角信号经过变换器、定子绕组等延时引起的相角误差。

双馈风力发电机稳态运行时，转子位置角量测与锁相环输出达到稳定状态，转子位置角传感器实现准确量测，锁相环实现完全锁相，转子角频率量测与锁相角频率均为恒定值，相角偏差Δθ′s=0，从而有

(12)

2DFIG与同步机功角耦合分析

对于图2所示单同步机-单DFIG-无穷大系统，根据功率方程可得

Pe=E1E2B12sin(δ2-δ1)+E2VsB23sin(δ2-θs)

(13)

同步机采用经典二阶模型，其转子运动方程为

(14)式中，M2为转子惯性时间常数；D2为阻尼系数；δ1、δ2分别为无穷大电源功角和同步机功角；ω2、ωb分别为转子角频率和同步角频率；P2、Pm分别为有功功率和机械功率。对式(14)线性化，并结合式(13)可得

(15)

式中

(16)

图2　单同步机-单DFIG-无穷大系统示意图Fig.2　Infinite bus system connected with single synchronous machine and single DFIG

对于图1中锁相环(Phase-locked Loop，PLL)，其主要作用是获取电网电压频率和相位，实现风力发电机与电网间的同步。其中最常用的锁相方法是定子电压矢量定向，即通过在dq坐标系下控制定子q轴电压vqs为0来实现锁相。定子电压矢量定向的锁相环结构如图3所示，其数学模型为

(17)

锁相角频率为

ωPLL=Ki_PLLxPLL+Kp_PLLvqs

(18)

式中，Kp_PLL、Ki_PLL分别为锁相环PI环节的比例与积分增益；xPLL为引入的状态变量；s为微分因子；vds、vqs分别为定子电压d、q分量。

图3　锁相环结构Fig.3　Structure of phase-locked loop

根据abc-dq变换和锁相环基本工作原理可得双馈风力发电机锁相环中定子q轴定向电压vqs为

(19)

由式(19)可知锁相电压Δvqs是ΔθPLL和θs变化量的函数。在图2所示系统中，根据有功功率平衡方程可知θs变化量是同步机功角变化Δδ2和锁相角变化量ΔθPLL的函数，假设Δθs=mΔθPLL+nΔδ2(证明详见附录)，从而有Δvqs=-VsΔθPLL+(mΔθPLL+nΔδ2)，其中m、n与系统结构及当前时刻系统运行状态有关，且n>0。

忽略同步机机械功率变化，根据第1节分析，并结合式(15)和式(17)可得

(20)

图4　同步机与双馈风力发电机功角耦合传递函数框图Fig.4　Block diagram of angle coupling between synchronous generator and DFIG

3DFIG与同步机功角互作用分析

本节将采用奇异摄动理论从状态矩阵的角度对双馈风力发电机与同步机功角强弱耦合情况下的互作用进行分析。

3.1DFIG与同步机功角弱耦合

当DFIG与同步机之间弱耦合时，根据正则摄动法，式(20)可转换为两个二维子系统解耦模型

(21)

由式(21)可知，弱耦合情况下，同步机功角振荡模态与锁相环模态互不影响，且双馈风力发电机仅通过影响系统平衡点初值(双馈风力发电机端电压相角初值θs0和同步机功角初值δ20)，进而影响参数Ks，对同步机功角振荡模态产生影响，也即通过改变系统潮流影响同步机功角振荡模态。

3.2DFIG与同步机功角强耦合

当双馈风力发电机与同步机之间强耦合时，双馈风力发电机与同步机功角相互作用，其交互动态主要取决于Δδ2和ΔθPLL的变化特性。本文重点关注强耦合的情况。根据同步机功角振荡模态与双馈风力发电机锁相环模态的关系，将Δδ2和ΔθPLL的变化特性分为以下两种情况进行分析：①同步机功角振荡模态与双馈风力发电机锁相环模态相差较大，即功角Δδ2的变化和锁相角ΔθPLL的变化在时间尺度上差异较大；②同步机功角振荡模态与双馈风力发电机锁相环模态相近，即功角Δδ2的变化和锁相角ΔθPLL的变化在时间尺度上相近。

对于情况①，由于锁相环动态通常快于同步机功角动态，因此，这里只分析时间尺度上功角Δδ2远大于锁相角ΔθPLL的情况。根据奇异摄动法，在分析同步机功角动态时，可认为锁相环动态的快速过渡过程已达到“拟稳态”，从而可得慢子系统为

(22)

式(22)表明，同步机状态变量与锁相环状态变量解耦，其功角动态不受锁相环动态影响。进一步，根据式(22)第1式中状态矩阵可得同步机功角模态特征值为

λ1,2=

(23)

式(23)表明，同步机功角模态仅与同步机参数及系统运行状态有关，与风力发电机锁相环参数无关，即同步机功角振荡模态不受锁相环参数影响。

同样地，在分析双馈风力发电机锁相环动态时，可认为同步机功角动态的慢速过渡过程还未及变化而保持常数，从而可得快子系统为

(24)

式(24)表明，锁相环状态变量与同步机状态变量解耦，其输出动态不受同步机功角动态影响。进一步，根据式(24)第2式中状态矩阵可得锁相环模态特征值为

λ3,4=

(25)

式(25)表明，锁相环模态仅与风力发电机自身参数与状态有关，与同步机参数无关，即锁相环模态不受同步机参数影响。

对于情况②，由式(20)状态矩阵中对应元素不全为零可知，同步机状态变量与DFIG中锁相环状态变量相互耦合。式(20)状态矩阵对应特征方程为

λ4+aλ3+bλ2+cλ+d=0

(26)

式中

(27)

进一步，可得方程(26)复数域内的特征值为

(28)

式中

(29)

根据式(28)可知，同步机功角振荡模态不仅与同步机参数及系统运行状态有关，且与锁相环参数有关。当同步机振荡模态虚部基本不变时，随着锁相环比例增益Kp_PLL的增大，式(28)中参数a增大，特征值实部绝对值增大，因而同步机振荡模态的阻尼比增大。同理，当锁相环积分增益Ki_PLL不变时，随着比例增益Kp_PLL的增大，锁相环振荡模态的阻尼比增大。

另外，根据方程解与系数关系可得

(30)

由于在系统结构及当前时刻系统运行状态确定时m为常数。因此，根据式(30)可知，当Kp_PLL确定时，特征值的和(即实部的和)不变。

综上所述，同步机功角与双馈风力发电机的相互作用程度由同步机功角振荡模态与双馈风力发电机锁相环模态的关系决定。当同步机功角振荡模态与双馈风力发电机锁相环模态相差较大时，两模态间相互解耦、互不影响，同步机功角振荡模态(或风力发电机锁相环模态)特性主要由自身参数及状态决定；当同步机功角振荡模态与双馈风力发电机锁相环模态相近时，两模态间将产生相互作用，同步机功角振荡模态(或风力发电机锁相环模态)特性不仅受同步机(或风力发电机)自身参数及状态影响，而且受另一发电机参数的影响。

4仿真分析

为验证上述双馈风力发电机与同步机功角互作用的理论分析，在DIgSILENT中搭建了图2所示单同步机-单DFIG-无穷大母线仿真测试系统。其中同步机参数如表1所示。等效双馈风力发电机为由30台运行状态相同的1.5 MW双馈风力发电机组成的风电场。其中单台双馈风力发电机的参数如表2所示，变压器参数如表3所示。线路L1电抗为40 Ω，L2、L3的阻抗为0。

表1　同步机参数

表2　双馈风力发电机参数

表3　变压器参数

对于图2系统，忽略风力发电机锁相环动态情况下，同步机功角振荡模态如表4所示。

表4　忽略PLL动态时同步机功角振荡模态

计及锁相环动态时，根据系统状态矩阵计算得到不同比例增益Kp_PLL和积分增益Ki_PLL下的同步机功角振荡模态和锁相环模态及其主导状态变量与参与因子如表5所示。下面根据同步机功角振荡模态和锁相环模态的关系，分析讨论双馈风力发电机与同步机的小扰动互作用。

表5　不同PLL参数下同步机功角振荡模态与锁相环模态对比

表5中编号1～4和编号8～10的模态分析结果表明，当同步机功角振荡模态与锁相环模态振荡不接近时，根据模态主导状态变量的参与因子可知同步机功角振荡模态主要与状态变量δ2和ω2强相关，锁相环模态主要与状态变量θPLL和xPLL强相关，即同步机功角与锁相环状态变量近似解耦。同时，同步机功角振荡模态的频率和阻尼比基本不变，基本不受锁相环参数的影响。这与3.2节情况①，当同步机功角振荡模态与双馈风力发电机锁相环模态不接近时，同步机状态变量与锁相环状态变量近似解耦，且同步机功角模态不受双馈风力发电机锁相环影响的结论一致，验证了3.2节情况①分析的正确性。

表5中编号5～7的模态分析结果表明，当同步机功角振荡模态与锁相环模态接近时，根据模态主导状态变量的参与因子可知同步机功角振荡模态和锁相环模态均与状态变量δ2、ω2、θPLL、xPLL强相关，即同步机功角与锁相环状态变量强耦合。同时，与同步机功角振荡模态与锁相环模态不接近时相比，同步机功角振荡模态的频率、阻尼比发生了较大变化。这与3.2节情况②，当同步机功角振荡模态与双馈风力发电机锁相环模态接近时，同步机状态变量与锁相环状态变量相互耦合，且同步机功角振荡模态受双馈风力发电机锁相环参数影响一致。

进一步，由表5的模态分析结果可知，当同步机功角振荡模态与锁相环模态接近时，与锁相环比例增益Kp_PLL=1情况(编号5～7)相比，增大Kp_PLL(编号11～13)将一定程度上提高同步机功角振荡模态和锁相环模态的阻尼比；减小Kp_PLL(编号14～16)将一定程度上降低同步机功角振荡模态和锁相环模态的阻尼比，但在同一Kp_PLL值下，两模态实部之和基本不变。这与3.2节情况②，当同步机功角振荡模态与锁相环模态接近时，随着锁相环比例增益Kp_PLL增大，同步机功角振荡模态和锁相环模态的阻尼比增大，且两模态实部和不变的结论一致，验证了3.2节情况②分析的正确性。

综上所述，当同步机功角振荡模态与锁相环模态不接近时，两模态基本解耦、互作用影响很小；当同步机功角振荡模态与锁相环模态接近时，两模态间相互耦合，影响各自的阻尼特性，且增大(或减小)锁相环比例增益Kp_PLL将一定程度上提高(或降低)同步机功角振荡模态阻尼比。

5结论

本文基于单双馈风力发电机单同步机无穷大系统，通过数学推导建立了双馈风力发电机锁相环与同步机功角耦合的状态矩阵，并采用摄动理论分析了该状态矩阵对应模态间的耦合互作用，进而揭示了双馈风力发电机锁相环与同步机小扰动互作用的产生机理。分析结果表明：

1) 小扰动情况下，双馈风力发电机端电压经过其定转子绕组与矢量控制环节后将产生相位偏差，该相角偏差主要由锁相环角频率与电网电压角频率偏差的积分决定。

2) 同步机状态变量与双馈风力发电机锁相环状态变量相互耦合，其耦合强度主要由同步机与风力发电机间电气联系强弱决定。在弱耦合情况下，锁相环振荡模态与同步机功角振荡模态相互解耦，互不影响。风力发电机主要通过改变系统潮流影响同步机功角振荡模态特性。在强耦合情况下，两者间的相互作用程度由同步机功角振荡模态与双馈风力发电机锁相环模态的关系决定。

3) 当风力发电机锁相环参数的取值使锁相环模态与同步机功角振荡模态相差较大时，锁相环状态变量与同步机状态变量近似解耦，两模态的互作用影响很小。当风力发电机锁相环参数的取值使锁相环模态与同步机功角振荡模态相近时，锁相环状态变量与同步机状态变量相互耦合，同步机功角振荡模态的特性发生较大变化，且随着锁相环比例增益增大，同步机功角振荡模态和锁相环模态的阻尼比增大，但两模态实部的和基本不变。

附录

图2系统中双馈风力发电机有功和无功功率方程为

(A1)

当PLL不完全跟踪时，θPLL≠θs，则锁相不准确造成的功率误差为(取风力发电机端电压Vs∠θs为参考电压)

(A2)

式中，I3为双馈风力发电机定子电流幅值；φ为功率因素角。

双馈风力发电机实际有功和无功功率为

(A3)

同步机功率方程为

(A4)

无穷大母线功率方程为

(A5)

对上述功率方程线性化可得(忽略电压大小变化，初始值下标0省略)

(A6)

(A7)

(A8)

根据功率平衡方程可得

(A9)

由式(A6)～式(A9)解得Δθs、Δθ4关于ΔθPLL和Δδ2的表达式为

(A10)

式中

(A11)

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毕天姝女，1973年生，教授，博士生导师，研究方向为电力系统保护与控制、故障诊断。

E-mail：tsbi@ncepu.edu.cn

王清男，1989年生，博士研究生，研究方向为电力系统稳定分析与控制等。

E-mail：carowangqing@sina.com(通信作者)

The Mechanism of Small Signal Dynamic Interaction Between DFIG and Synchronous Generator Based on State Matrix and Perturbation Theories

BiTianshu1WangQing1XueAncheng1XiaDeming2

(1.State Key Laboratory of Alternate Electrical Power System with Renewable Energy Source North China Electric Power UniversityBeijing102206China 2.Northeast Branch of State Grid Corporation of ChinaShenyang110180China)

AbstractWith the increasing applications of doubly-fed induction generators (DFIGs), the study on the mechanism of small signal dynamic interaction between DFIGs and synchronous generators becomes increasingly important. In order to reveal the interaction mechanism, in this paper, the relationship between the terminal voltage phase and rotor side vector control of DFIG is analyzed firstly. And then, the relation expression considering the variation of terminal voltage phase and the angular frequency deviation between the phase locked loop (PLL) of the DFIG and the power grid is established. On this basis, the state matrix that reflects the coupling property between the PLL of DFIG and the power angle of synchronous generator is established based on the system containing a single synchronous generator, an infinite bus, and a single DFIG. Furthermore, the coupling interaction between the modes of the state matrix is studied using the perturbation theories and the modal analysis method. Then the interaction mechanism between the oscillatory modes of the synchronous generator and the PLL is revealed. In the end, the correctness of the analysis is verified by the comparison of the oscillatory modes and their dominant state variables and participation factors.

Keywords：Doubly-fed induction generator (DFIG)，small-signal dynamic interaction，state matrix，perturbation theories，phase-locked loop

作者简介

中图分类号：TM712

收稿日期2015-07-01改稿日期2015-12-27

国家重点基础研究发展(973)计划(2012CB215206)和国家自然科学基金(51477050，51190103)资助项目。