邹广玉

(长春工程学院 理学院， 吉林 长春130012)



NA序列部分和之随机和的中心极限定理

邹广玉

(长春工程学院 理学院， 吉林 长春130012)

摘要:部分和之随机和在理论和实际中有着重要价值，中心极限定理则给出了它的渐近分布.利用前人得到的NA序列部分和之和的中心极限定理和部分和最大值的矩不等式,获得了NA序列部分和之随机和的中心极限定理，形成了与独立同分布情形对应的结果，并应用所得结论给出一类随机函数随机和的中心极限定理.

关键词：NA序列；部分和之和；中心极限定理；随机函数

定义 称随机变量{Xi,i∈I}是负相伴(NA)的,如果对于I的任意不交子集A、B,有Cov(g(Xi,i∈A),h(Xj,j∈B))≤0,其中I={1,… ,n}，g与h是任何两个使得协方差存在且对每个变元均非降的函数.

称随机变量序列{Xi,i≥1}是NA的,如果对任何n≥2,X1,…,Xn都是NA的.

NA序列的概念最早由Alam和Saxena[8]提出，它是包含独立随机变量列在内的重要相依类型，在可靠性理论、多元统计分析等有重要应用.

1若干引理

设{Xn,n≥1}为NA随机变量列，记

引理2[6]设{Xn,n≥1}为均值为0的严平稳NA随机变量序列，满足下面条件：

(3) 对某个δ>0,E|X1|2+δ<∞，

则

引理3在引理2的条件下有

2主要结论

定理1设{Xn,n≥1}为满足引理2条件的NA随机变量序列，{τn,n≥1}是取正整数值的随机变量，满足

(1)

其中a是正常数，则有

(2)

(3)

证明：先证式(2).记tn=[an]，注意到

(4)

事实上，由马尔可夫不等式和引理1，有

P{|τn-tn|>tnδ}≤

P{|τn-tn|>tnε}≤

P{|τn-tn|>tnε}≤

P{|τn-tn|>tnε}≤

P{|τn-tn|>tnε}≤

P{|τn-tn|>tnε}.

(5)

式(3)的证明与上面完全类似，从略.

3应用

设Wn=Wn(X1,X2,…,Xn)是一个随机函数(或统计量)，可以表示成

Wn=Sn+Rn,

(6)

其中Rn称为余项.很多常用的随机函数(或统计量)都可表示成式(6)的形式,例如U统计量、Von-Mises统计量、线性模型的误差方……