姜海丽 孙秋华 刘艳磊 马伯洋（哈尔滨工程大学理学院，黑龙江哈尔滨 150001）



任意形状的三角形电流的磁场分布

姜海丽 孙秋华 刘艳磊 马伯洋
（哈尔滨工程大学理学院，黑龙江哈尔滨 150001）

摘 要本文根据毕奥－萨伐尔定理先求出任意三角形一条边所产生的磁场，再利用矢量场旋转求出另外两条边产生的磁场，最终利用矢量叠加求得任意形状的三角形电流的磁场分布．这种方法可以推广到求任意形状多边形电流的磁场求解．

关键词任意形状三角形电流；磁场分布；矢量场旋转

在电磁学和磁测量中最常见的一种计算就是根据电流的分布求解其所激发的磁场的分布［1、2］．对于磁场的求解大学物理教学中经常用到的方法是毕奥－萨伐尔定律和安培环路定理．安培环路定理的积分形式一般只能运用于求解电流的分布具有高度对称性的情况，如果遇到任意形状的电流分布时就只能采用毕奥－萨伐尔定律来进行求解了．原则上任意形状的载流导线周围磁场分布问题的求解可以归纳为：毕奥－萨伐尔定律加上磁场叠加原理即为所求的磁场．但实际上由于数学上的难度，一般只讨论特殊形状或特殊位置的磁场分布，对于任意形状的多边形电流的磁场分布的研究较少［3－7］．本文根据毕奥－萨伐尔定理先求出任意三角形一条边所产生的磁场，再利用矢量场旋转求出另外两条边产生的磁场，最终利用矢量叠加求得任意形状的三角形电流的磁场分布．

如图1所示，假设三角形电流ABC，电流I的流向为逆时针方向，O为三角形的外心（即三条边的垂直平分线的交点），建立如图所示的坐标系Oxyz，其中x、y轴在三角形线圈平面内，z轴垂直于线圈平面．x轴与AB边的交点为O′，三条边的长度为别为l1，l2，l3．

在l1边上距离O′为y′处取一宽为dy′的电流元Idy′，则该电流元在点P产生的磁场为

利用磁场矢量叠加原理可得整个l1边在点P的磁场为

图1　三角形线圈激发的磁场

式中ρ1为点O到l1边的距离．如图设点P到l1边的距离为d，α为电流元Idy′到点P的矢径r与电流元的夹角，则有

代入式（1）可得

其中，由几何关系可得

将这些几何关系代入式（2）中，式（2）即为

如果将l2，l3分别转动到l1所在的位置，类比可得

对于转动后的l2和l3在点P的磁场分别为

式（4）、（5）中ρ2、ρ3分别为外心O到l2和l3的距离．

式（4）和式（5）所得到的仅是假设把l2和l3两段电流转动到l1所在位置时产生的磁场，并不是l2和l3两段电流真正产生的磁场，要想求出l2和l3两段电流所产生的真正的磁场，就需要利用矢量场旋转的方法把l2和l3两段电流转动到l1所在位置时激发的磁场B′l2（x，y，z），B′l3（x，y，z）进行旋转，从而可得l2和l3两段电流产生的磁场分别为

利用式（3）、（6）、（7）可得整个三角形线圈在点P的合磁场为

为了更加直观地看到三角形电流激发的磁场分布的特点，为此我们利用Mathematica对磁场的分布进行讨论及分析．为方便起见，选取电流I＝10A，μ0＝4π×10－7N／A2，三角形中较短的两条边l1和l2分别取为3和4，这两条边之间的夹角为q，分别仿真了θ＝80°、90°、105°的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的磁场等高图．图2为z＝0即三角形电流平面内的情形，图3为z＝0．2即三角形电流平面内的情形，图4为z＝0．5即三角形电流平面内的情形．

图2　z＝0时磁场等高图

图3　z＝0．2时磁场等高图

在图2、图3、图4等高线图中，相邻等高线之间的间距为2×10－7I，I为载流导线中电流强度的大小．相同颜色的区域代表磁场相同，颜色浅的区域磁场强，颜色越深磁场越弱．由图2可知，在三角形电流平面内所产生的磁场等高线的形状接近于三角形电流的形状，与三角形的形状有关．离电流越近的区域磁场越强，等高线也越密集；离电流越远的地方磁场越弱，等高线越稀疏，仿真结果与理论是完全相符的．从图3、图4可看出，随着研究区域离三角形电流平面越来越远时，等高线的区域越来越宽泛，相同磁场的区域面积也相应变大．

图3（续）

图4（续）

图4　z＝0．5时磁场等高图

本文利用毕奥－萨伐尔定律、磁场叠加原理以及矢量场旋转求得任意形状的三角形电流的磁场分布，同时借助于Mathematica对计算结果进行仿真，最终对任意形状的三角形电流的磁场分布有了较为直观的了解．将这种求解方法进行推广，可以用来求解平面内任意形状多边形电流激发的磁场，可实现用物理学的理论来指导实际的应用，有一定的实用价值．

参考文献

［1］ 赵凯华，陈熙谋．电磁学［M］．北京：高等教育出版社，2003．

［2］ 马文蔚．物理学［M］．北京：高等教育出版社，2014．

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THE MAGNETIC FIELD DISTRIBUTION OF AN ARBITRARY TRIANGULAR ELECTRIC CURRENT

Jiang Haili Sun Qiuhua Liu Yanlei Ma Boyang
（College of Science，Harbin Engineering University，Harbin，Heilongjiang 150001）

AbstractIn this article we introduce an novel method to calculate the magnetic field distribution of an arbitrary triangular electric current．Firstly the magnetic field of any edge can be gotten according the Biot－Savart Law．Then the magnetic field of other two edges could be obtained by using vector field rotation．At last we can get the total magnetic field of an arbitrary triangular electric current through principal of vector field superposition．This method could also be extended to other cases about any shape polygon electric current．

Key wordsarbitrary triangular electric current；magnetic field distribution；vector field rotation

作者简介：姜海丽，女，副教授，主要从事物理教学科研工作，研究方向为光纤传感器．jianghaili＠hrbeu．edu．cn

基金项目：黑龙江省高等教育教学改革项目（项目编号：JG2013010198）．

收稿日期：2015－07－26