赵 强 曲 哲（西安交通大学理学院，陕西西安 710049）



均匀电场中的椭球形导体

赵 强 曲 哲
（西安交通大学理学院，陕西西安 710049）

摘 要本文利用“一个均匀极化的电介质椭球，其表面的极化电荷在椭球内产生一个与极化方向严格相反的均匀电场”这个观点，以均匀极化的旋转椭球形电介质为模型，用类比的方法导出了均匀外电场中旋转椭球形导体表面电荷的分布规律．

关键词旋转椭球；导体；均匀极化；静电场的唯一性

钟锡华先生偏爱余弦型球面电荷的观点给笔者印象深刻［1］，他的这个爱好必然会给学生带来这样一个疑问：既然将球形导体放到均匀外电场E0中，导体的表面上将会出现余弦型电荷分布，那么，如果将一个旋转椭球形导体放到均匀的外电场E0中，其表面的感应电荷将如何分布？还是余弦型分布吗？

一般来说要回答这个问题，需求解静电场的拉普拉斯方程．然而学生只有学了电动力学这门课程后，才有求解拉普拉斯方程的能力，然而即使学生有了这个能力，求解拉普拉斯方程也并非易事，因此，这个疑问将在相当长一段时间内困扰学生．但是如果我们利用E．M．珀塞尔的“只有椭球型的电介质（圆球是它的一个特例）才能在均匀电场中均匀极化．”的观点［2］，通过计算均匀极化的旋转椭球形电介质表面极化电荷的分布规律，就可用类比的方法给出均匀外电场中旋转椭球形导体表面的感应电荷的分布规律．这样不仅避开了求解拉普拉斯方程，用普通物理的方法回答了学生的疑问，而且物理图像清晰，富有启发性．下面我们分3种情况来讨论这个问题．

1 外电场E0的方向沿旋转椭球形导体的旋转轴

我们暂时抛开导体问题不说，先考虑一沿旋转轴均匀极化的旋转椭球形电介质．设此介质椭球的旋转轴为z轴，介质极化强度P指向z轴的正方向，则此旋转椭球上的直角坐标方程为

此椭球的参数方程为

根据微分几何的知识［3］，旋转椭球在用式（2）表示的情况下，其表面上任一点A（x，y，z）处的法向n和z轴夹角α（同时也是法向n和P之间的夹角）的余弦为

在A点处极化电荷的面密度为

同样根据微分几何的知识，若椭圆用参数方程（2）表示，其表面的面积微元为

面元dS上的电量为

图1　椭球形电介质

根据E．M．珀塞尔的观点，均匀极化的椭球形电介质内的退极化场为均匀．因此我们只要计算出其表面极化电荷在其中心O点的场，其内部所有点的电场就清楚了．电荷dq在椭球中心O处电场在z轴上的分量为

如图1所示，式（6）中的r为dq到椭球中心的距离，其用参数θ，φ表示的形式为

β为r与z轴之间的夹角（注：β和参数θ并非一回事），其余弦为

将式（8）和式（9）代入式（7）有椭球中心O点的电场为

幸运的是积分表中可以查到式（12）的积分，查积分表，并定义定义介质椭球的退极化因子为（k可称为椭球的形状因子），计算并整理后有

若a＜b，即k＞1（“鸡蛋”形旋转椭球）

若a＞b，即k＜1（“铁饼”形旋转椭球）

将式（14）和式（4）综合起来考虑，得到均匀极化的旋转椭球形电介质表面极化电荷面密度和极化电荷产生的退极化电场E′（E′＝｜E′z｜）之间的关系为

将式（13）或式（13′）代入（11）式有

现在我们回到导体问题上．若将一旋转椭球形导体放到均匀的外电场E0中，E0沿导体的旋转轴方向，那么根据导体的静电平衡条件，椭球表面的感应电荷将在导体内产生与E0大小相等方向相反的场将E0抵消掉．根据静电场的唯一性定理，这旋转椭球形导体上的电荷分布规律应与式（15）一样，即

当a＝b，即k＝1时，此导体椭球退化成导体球，参数θ也退化成r和z轴之间的夹角这时式（15）变为式（16′）正是钟锡华先生偏爱的余弦型球面电荷．

2 均匀外电场E0与旋转椭球形导体的旋转轴垂直

若外电场E0与导体的旋转轴z轴垂直．不妨设E0沿y轴方向，这时我们可选沿y轴方向均匀极化的同形状电介质椭球作为模型进行研究．与情况1中不同的是电介质椭球表面上任一点A处的法线向n与P之间的夹角α′（亦即n与y轴之间的夹角）的余弦为

电介质椭球表面极化电荷的分布为

与情况1类似，我们仍在椭球表面上选一小面元dS，dS上的电荷dq的参数表达式仍与式（6）相同，dq在椭球中心的电场在y轴上的分量为

如图2所示，与情况1中相同的是β′是r与y

图 2

轴的夹角，且

做与情况1中类似的运算，极化电荷在O点的电场为

利用式（12），可将式（21）写成

查积分表，计算并整理后有

将式（23）代入式（22）有

利用式（18）和式（24），我们可以得到均匀极化旋转椭球形电介质其表面极化电荷面密度和退极化场E′（E′＝｜Ey｜）之间的关系

与情况1的道理相同，情况2中的导体椭球表面感应电荷的分布规律为

3 均匀外电场E0与旋转椭球形导体的旋转轴成任意角度

若外电场E0与旋转椭球形导体的旋转轴成任意角度α0，我们可以将外电场E0分解为沿旋转轴z轴的分量E0cosα0和沿y轴的分量E0sinα0（由于旋转对称性，我们将y－z平面选得与E0平行，这完全可代表普遍情况），这两个分量所引起的感应面电荷分布分别为式（16）和式（26）．根据静电场的叠加原理和唯一性定理，这时旋转椭球形导体的表面感应电荷分布规律为

至此，困扰学生的疑问得到了彻底解决．

参考文献

［1］ 钟锡华．电磁学通论［M］．北京：北京大学出版社，2014：3（序），52－56，98－99，127．

［2］ 珀塞尔E M．电磁学［M］．伯克利物理教程第二卷．南开大学物理系，译．北京：科学出版社，1979：406．

［3］ 史瑞鳌，眭洁，孙澈．高等数学讲义（下册）［M］．北京：高等教育出版社，1989：176，226．

ELLIPSOIDAL CONDUCTOR IN UNIFORM ELECTRIC FIELD

Zhao Qiang Qu Zhe
（College of Science，Xi’an Jiaotong University，Xi’an，Shanxi 710049）

AbstractBased on the model of an uniformly polarized dielectric rotation ellipsoid and the viewpoint that the surface polarization charges of an uniformly polarized dielectric ellipsoid can produce the uniform electric field in contrast to the polarization direction strictly，in this paper，we deduced the surface charge distribution of the rotation ellipsoidal conductor in the uniform electric field by the analogy method．

Key wordsrotation ellipsoid；conductor；uniform polarization；the uniqueness of electrostatic field

收稿日期：2015－07－31