李云霞

(楚雄师范学院 数学与统计学院, 云南 楚雄 675000)



全平面上q-级随机Dirichlet级数的Borel线

李云霞

(楚雄师范学院 数学与统计学院, 云南 楚雄 675000)

摘要：研究由全平面上收敛的q-级随机Dirichlet级数表示的整函数F(s,ω)的值分布性质,得到了q-级随机Dirichlet级数表示的整函数几乎必然(a.s.)每条水平直线是F(s,ω)的没有有限例外值的q-级Borel线.

关键词：随机Dirichlet级数; q-级; Borel线

1预备知识与主要结果

Dirichlet级数表示的整函数的增长性和值分布是复分析的重要研究方向之一,是由S. Mandelbrojt[1]及G. Valiron[2]首先研究的.相关的研究被推广到更一般的随机Dirichlet级数的情形,文献[3-5]在这方面做了重要工作.对于随机Dirichlet级数表示的整函数,在文献[1-5]中介绍了一些关于整函数的系数、级及值分布的有趣结果,文献[6-8]中分别讨论了随机Dirichlet级数表示的整函数的无穷级和零级的Borel线.本文在文献[9-17]的基础上进一步完善他们的结果,讨论对于独立、非同分布的随机Dirichlet级数表示的整函数F(s,ω)的值分布问题,获得了几乎必然(a.s.)每条水平直线是F(s,ω)的没有有限例外值的q-级Borel线,推广了文献[6-8]中随机Dirichlet级数表示的整函数的值分布的结果.

考虑辅助Dirichlet级数

(1)

其中,{an}⊂C,0<λn↑∞,s=σ+it(σ,t为实变量).另外,设级数(1)满足

(2)

由条件(2)和Valiron公式[2],Dirichlet级数(1)的一致收敛横坐标为-∞,则F(s)定义了一个全平面收敛的整函数.

令

表示F(s)的最大模.另记exp[0]x=ln[0]x=x;当k>1,

ln[k]x=ln(ln[k-1]x).

Dirichlet级数q-级ρ的定义为

(3)

其中,q=2,3,4,….

设随机Dirichlet级数

(4)

令

表示F(s,ω)的最大模,其中{Xn(ω)}是概率空间(Ω,A,P)中独立、一致非退化随机变量序列,且不一定是同分布的序列,且满足下列条件:E{Xn(ω)}=0,

(5)

(6)

其中,d>0是常数.记σn为E|Xn|2,因此条件(5)和下面的条件等价

(7)

本文涉及到的值分布的……