杨　婧,　蒲志林*，　奉　卫

(1. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066;　2. 内江师范学院 数学与信息科学学院, 四川 内江 641100)



具有临界指数和Robin边界的Kirchhoff方程解的存在性

杨婧1,蒲志林1*，奉卫2

(1. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066;2. 内江师范学院 数学与信息科学学院, 四川 内江 641100)

摘要：主要研究带有非线性边界耗散和临界指数的Kirchhoff 方程在t→∞ 时的渐进性态,证明弱解的存在性.首先,利用极大单调算子的理论证明局部解的存在唯一性,其次用能量等式证明全局解的存在性并给出其变分形式.

关键词：Robin边界条件; 临界指数; 极大单调算子; 解的存在性; 能量等式; 变分形式

1预备知识

1.1Kirchhoff方程的起源及研究进展考虑带有非线性阻尼的Kirchhoff波方程

(1)

其中,u=(u1,u2,…,uN)=u(t,x)是一个向量,N≥1.Ω为Rn上的有界区域,M为函数M(λ)=a+bγλγ-1,λ≥0,a,b≥0,a+b>0,γ>1.

对于方程(1),当a>0,b≥0为非退化;当a=0,b>0,为退化;当a>0,b=0,则方程为通常所说的半线性波方程[1].

方程(1)起源于对微小振幅的弹性细绳振动的精确研究[2].实际上对于长度L>0的弹性细绳振动的数学模型的原始方程为

(2)

其中,u(x,t)=u是空间坐标x与时间t的横向位移,E是Young系数,ρ是细绳的密度,h是振动高度,L为长度,ρ0为初始轴向拉力,δ是阻尼系数,f是外力.当δ=f=0时,Kirchhoff是第一个在研究弹性细绳振动时引入方程(2)的数学家,因此在他以后的这类波方程被称为Kirchhoff方程.Kirchhoff方程在数学物理的许多领域都有重要的意义,对于Kirchhoff波方程的研究已经有大量的文章,文献[3-4]研究了方程

在边界条件

全局解的存在性和指数衰减的问题.文献[5]研究了方程

在Diric……