赵永红,张林让,刘 楠,解 虎

(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室,陕西西安 710071)



采用协方差矩阵稀疏表示的DOA估计方法

赵永红,张林让,刘 楠,解 虎

(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室,陕西西安 710071)

摘要:针对L1-SRACV算法在低快拍时波达方向估计性能严重下降的问题,分析其原因并提出一种基于快速极大似然算法的波达方向估计新方法.首先利用快速极大似然算法估计协方差矩阵,以解决由于快拍数较低引起协方差矩阵小特征值不稳定的问题.然后建立了基于快速极大似然算法的稀疏模型进行波达方向估计.最后,为了进一步提高算法在快拍数较小时的性能,选择剔除协方差矩阵的对角元素,并对建立的波达方向估计模型进行了修改.仿真结果表明,所提算法相对于L1-SRACV算法具有高的估计精度和检测概率,尤其是在快拍数较小时仍能获得高的估计精度.

关键词:稀疏表示;波达方向估计;高分辨;协方差矩阵;相关信号;快速极大似然算法

波达方向(Directional of Arrival,DOA)估计是阵列信号处理的热点问题.传统方法包括普通波束形成、Capon方法[1]、子空间类方法[2-3]和最大似然方法.子空间类方法能实现超分辨,但只适用于非相干信号,对相干信号而言,必须先进行去相关处理,而最大似然方法可以处理相干信号,但算法的性能易受参数初始化准确度的影响,而且计算复杂度比较高.

近年来,学者们将稀疏重构的思想应用到DOA估计中,提出了大量基于稀疏表示的DOA估计方法[4-6],相对于传统的DOA估计方法,这些方法具有更高的估计精度和角度分辨能力.文献[4]将稀疏重构的思想应用于加权子空间拟合(Weighted Subspace Fitting,WSF)问题,使WSF问题的求解不再依赖于初始值的选取.文献[5]提出了JLZA算法,采用混合l2,0范数进行DOA估计,以解决l1范数约束会导致在目标角度间隔较近时产生的估计偏差.文献[6]提出了SPICE方法,该方法基于协方差匹配技术,通过协方差矩阵的稀疏迭代进行DOA估计,具有很高的估计精度.文献[7]提出了一种加权迭代最小范数(FOCUSS)方法,并将其应用在DOA估计中,但该方法仅适用于单次快拍,之后经过学者们的改进,文献[8]提出了多快拍FOCUSS算法.文献[9]提出了一种新的基于协方差矩阵稀疏表示的联合波达方向估计方法,该方法仅利用协方差矩阵的部分信息进行DOA估计方法,并且不需要已知噪声功率.

多快拍的联合估计可以有效提高算法的抗噪性能和估计精度,现有的多快拍联合估计方法,包括基于直接数据域的多快拍联合估计和基于协方差矩阵的联合估计.文献[10]提出了基于稀疏信号重构的稀疏阵列的DOA估计方法,该方法有很高的估计精度,且计算量较小,但是该方法不能直接处理相关信号.文献[11]针对多快拍提出了L1-SVD方法,该方法直接作用于多快拍获得的数据,通过奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)方法降低算法的计算量,并将其成功应用于窄带信号和宽带信号的DOA估计中,但该方法在低信噪比时性能急剧下降.文献[12]基于奇异值分解,提出了多帧联合欠定系统正则化聚焦求解算法(SVD-RMFOCUSS),并将其成功应用于DOA估计,该方法能准确估计出目标的方位,且计算量小,但需要确定正则化参数,当正则化参数选择不准确时,算法可能会失效.文献[13]提出了基于协方差矩阵稀疏表示的DOA估计方法(L1-SRACV),该方法可以处理相关信号,并且不需要确定正则化参数,但该算法的性能在快拍数较小时严重下降.

针对现有的基于协方差矩阵稀疏表示DOA估计方法在快拍数较小时性能严重下降的问题,基于快速极大似然(Fast Maximum Likelihood,FML)[14]算法,提出一种改进的基于协方差矩阵稀疏表示的DOA估计方法.该方法通过FML稳定协方差矩阵的小特征值,使算法的稳健性得到提升,并且做了进一步处理,削弱了噪声的影响,从而使算法能够获得更高的角度分辨能力和估计精度,尤其是在快拍数较小时也能获得很高的估计精度.

1 信号模型

其中,s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T,表示阵列接收的目标信号矢量,(·)T表示转置运算;n(t)是阵列接收的噪声矢量,服从零均值的复高斯分布,噪声功率为σ2;A(θ)表示阵列流形矩阵,A(θ)= [ a(θ1),a(θ2),…,a(θK) ],a(θk)= [ 1,exp(-j2πf d21sinθkc),…,exp(-j2πfdM1sinθkc) ]T,为第k个信号的导向矢量,f是信号的载

以线阵为例,假设该阵列由M个阵元构成,以第1个阵元为参考阵元,其他阵元与参考阵元的间距依次为d21,d31,…,dM1,空间远场存在K个窄带信号,其入射方向θ=[θ1,θ2,…,θK],则阵列的接收信号可以表示为波频率,c表示电磁波的传播速度.假设信号与噪声是不相关的,则阵列接收数据的协方差矩阵为

其中,E(·)和(·)H分别表示取期望运算和共轭转置运算,IM表示M×M的单位阵,Rs=E [ s(t)sH(t)],是信号协方差矩阵.

其中,(·)*表示复共轭运算,xm(t)表示第m个阵元在t时刻的接收数据,gm是Q×1维的系数向量,在超完备基矩阵()下是稀疏的,当且仅当=θk时,对应位置的值非零,其余位置为0,em是M×1的列向量,除了第m个元素为1外,其它值都为0.将rm,m=1,2,…,M写成矩阵的形式R=[r1,r2,…,rM],便可得到

2 基于协方差矩阵稀疏重构的残差约束模型

2.1 协方差矩阵的残差约束模型

度量一个向量稀疏性的最直接的标准就是计算向量中非零元素的个数,即l0范数,但是基于l0范数约束的优化问题是一个NP-hard问题,最常用的方式是用l1范数代替l0范数,这样使得问题转化为一个凸优化问题,并且可以得到全局最优点.那么基于式(4)的DOA估计问题可以转化成如下的约束问题:

其中,vec(·)表示矩阵的向量化,As N(μ,C)表示近似服从均值为μ,协方差矩阵为C的多维正态分布,⊗表示克罗内克(Kronecker)积.用代替R,将会导致式(5)的等式约束不再成立,因而稀疏解向量[g1,g2,…,gQ]T的求解转换成如下的残差约束模型[13]:

其中,Asχ2(M2)表示近似服从自由度为M2的χ2分布,η的确定是由式(7)以高概率成立为前提的.

2.2 分析协方差矩阵小特征值对残差约束模型的影响

显然,(U*⊗U)(U*⊗U)H=I,(UT⊗UH)(UT⊗UH)H=I,可知(U*⊗U)和(UT⊗UH)都是酉矩阵,又(UT⊗UH)=(U*⊗U)H,可以将式(9)写成

根据矩阵特征分解的惟一性,可知(U*⊗U)和(Λ⊗Λ)分别是矩阵^W的特征矩阵和对角矩阵,因此可以看出,矩阵^W的特征值由协方差矩阵估计值^R的特征值克罗内克积决定,将其代入式(8),可得

根据酉矩阵的性质可知

3 采用协方差矩阵稀疏表示的DOA估计方法

3.1 快速极大似然算法

假定协方差矩阵R可以分解成如下形式:

其中,R0是一个半正定Hermitian矩阵,IM是M阶单位阵,σ2是噪声功率.则协方差矩阵R可以通过快速极大似然来估计[14],其表达式为

其中,Λ=diag(λ1,λ2,…,λ^K,^σ2,^σ2,…,^σ2),是一个M×M的对角矩阵是特征值大于的个数是噪声功率,通常是已知的或者通过足够长的时间快拍估计得到,λ1,λ2,…,λ^K是采样协方差矩阵的大特征值,Φ= [Φ1,Φ2,…,ΦM],Φ1,Φ2,…,ΦM是采样协方差矩阵的单位特征向量.通过式(14),可以看出FML算法的特点是将协方差矩阵小特征值固定在噪声功率处,从而避免了由于快拍数有限而导致小特征值的不稳定.

3.2 采用协方差矩阵的DOA估计方法

其中,J1=[e2,e3,…,eM]T,Ji=[e1,…,ei-1,ei+1,…,eM]T,i=2,3,…,M-1,JM=[e1,e2,…,eM-1]T,则可以将用于DOA估计的式(15)转化为

通过分析可知,文中算法在推导的过程中并未涉及协方差矩阵R秩的问题,也没有假设信号是不相关的,因此,该算法不但可以处理非相关信号,而且也适用于具有任意相关性的信号,并且不需要任何去相关处理.另外,文中采用FM L方法估计协方差矩阵R,从而达到稳定协方差矩阵R小特征值的目的,同时选择剔除协方差矩阵中含有噪声的元素,提高算法的稳健性,并且使算法在快拍数较小时仍能得到高的估计精度.因此理论上,相对于L1-SRACV算法,文中算法能获得更高的角度分辨能力和估计精度,并且能适用于快拍数较小的情况.

4 仿真实验

为了验证文中算法的性能,采用仿真数据进行分析.实验中,采用九阵元的均匀线阵,阵元间距为半波长,初始角度的划分为将空间域范围-90°～90°,以1°为间隔,划分为181份.

实验1 假设空间远场存在两个目标,来波方向为[2°,11°],阵列的每个通道噪声均为零均值的复高斯白噪声,且各个通道的噪声互不相关,信噪比为-6 dB,同时假定信号和噪声是不相关的,平稳快拍数L=300.图1和图2分别给出了信号在不相关和相干(衰落系数0.8+0.9j)情况下得到的稀疏空域谱,通过对比可以看出,信号的相干性几乎对文中算法的DOA估计不产生影响,因而通过实验证明了文中算法同样适用于相干信号,并且不需要任何额外的去相关处理.

图1 空域谱(不相干信号)

图2 空域谱(相干信号)

图3给出了两个不同信号在来波方向为[2°,11°]时的检测概率,快拍数L=300,图中每个点均由200次蒙特卡洛实验给出估计结果.在每次实验中,若估计所得角度与真实角度相差的绝对值之和小于2°,则定义该次实验为一次正确检测;否则,认为检测失败.可以看出,采用文中建立的DOA估计模型,算法的检测概率得到明显的改善,尤其是在信噪比较低时,所提算法的检测概率相对于L1-SRACV有较大的提升,且优于L1-SVD算法.?

图3 检测概率随信噪比的变化曲线

图4 检测概率随角度差的变化曲线

实验2 考察文中算法在不同角度间隔下的检测概率,以此来评估所提算法的角度分辨能力.图4给出了几种算法在不同角度间隔下的检测概率,信噪比为-6 dB,蒙特卡洛次数为200,实验中假设一个信号固定在θ1=2°,另一个信号的角度θ2=θ1+Δθ,其中角度间隔Δθ=2°～28°,步长为2°.可以看出,通过FML算法稳定协方差矩阵小特征值后,算法的角度分辨能力确实得到提升,如图4所示,在角度间隔较小时,文中算法的角度分辨能力明显优于L1-SRACV方法和L1-SVD方法的.

实验3 在实验中,主要验证文中算法在DOA估计精度方面的性能,其衡量标准采用均方根误差(Root Mean Square Error,RMSE),定义为

其中,H为均方根误差的平均次数,小于等于蒙特卡洛次数,K表示目标个数,^θk,h为第h次有效实验对第k个目标的估计角度,θk为第k个目标的真实角度.假设空间远场两窄带信号的来波方向分别为[-16.67°,42.83°],采用文献[10]所提的网格逐步精细化方法来降低角度划分栅格对测角精度的影响,迭代次数为2,精细化比例为1/3.图5给出了DOA估计的RMSE随信噪比的变化情况,其中信噪比为-10～10 dB,步长为2 dB,快拍数为300,蒙特卡洛次数为100.可以看出,相对于L1-SRACV方法,文中算法明显地提升了低信噪比情况下的估计精度.在高信噪比情况下,文中算法的估计精度与L1-SRACV方法的估计精度相接近,且都优于L1-SVD的.图6展示了DOA估计的RMSE随快拍数的变化情况,其中快拍数为50～200,信噪比为10 dB,蒙特卡洛次数为100.可以看出,在快拍数较多时,文中算法和L1-SRACV方法的估计精度都很高,但当快拍数较小时,L1-SRACV方法的估计精度严重下降,而文中算法仍然可以得到很高的估计精度.

图5 RMSE随信噪比的变化曲线

图6 RMSE随快拍数的变化曲线

5 结束语

在L1-SRACV算法的基础上,提出了一种改进的DOA估计方法.采用快速极大似然算法估计协方差矩阵,稳定了协方差矩阵的小特征值,从而提高算法在低快拍下的稳健性.为了进一步提高算法的性能,选择剔除协方差矩阵中的对角元素,使所提算法能获得高的估计精度和角度分辨能力,并且适用于低快拍的情况,实验仿真结果验证了文中算法的有效性.

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(编辑:王 瑞)

DOA estimation method based on the covariance matrix sparse representation

ZH AO Yonghong,ZHANG Linrang,LIU Nan,XIE Hu
(National Key Lab.of Radar Signal Processing,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

Abstract:The performance of the L1-norm-based sparse representation of array covariance vectors(L1-SRACV)algorithm significantly degrades with the number of samples decreasing.This paper analyzes the essential cause of this performance degradation and proposes a new direction of arrival(DOA)estimation method based on the fast maximum likelihood(FML)algorithm.Firstly,the FML algorithm is employed to estimate the covariance matrix,which attenuates the instability of the small eigenvalues of the covariance matrix.Then the sparse representation model based on the FML is formulated for DOA estimation and finally,optimized by removing the diagonal elements of the covariance matrix to obtain better performance.Simulation results indicate that our method outperforms the L1-SRACV with a higher accuracy and detection possibility,particularly under small samples support.

Key Words:sparse representation;DOA estimation;high-resolution;covariance matrix;correlative signal;fast maximum likelihood algorithm

作者简介:赵永红(1989-),女,西安电子科技大学博士研究生,E-mail:zhaoyh_2014@163.com.

基金项目:中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(JB140213)

收稿日期:2014-10-27 网络出版时间:2015-05-21

doi:10.3969/j.issn.1001-2400.2016.02.011

中图分类号:TN957.51

文献标识码:A

文章编号:1001-2400(2016)02-0058-06

网络出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150521.0902.008.html