有 名 辉

(浙江机电职业技术学院 数学教研室， 浙江 杭州 310053)



一个与Euler数有关的Hilbert型不等式的推广

有 名 辉

(浙江机电职业技术学院 数学教研室， 浙江 杭州 310053)

摘要：通过引入参数，利用实分析技巧，建立最佳常数因子与余割函数有关的Hilbert型积分不等式，推广了与Euler数有关的Hilbert型不等式. 作为结论的应用，赋予参数不同的值，给出了一些特殊结果．

关键词：Hilbert型积分不等式；余割函数；Euler数; 部分分式展开; Gamma函数

YOU Minghui

(MathematicsTeachingandResearchSection,ZhejiangInstituteofMechanicalandElectricalEngineering,Hangzhou310053,China)

设f(x),g(x)≥0,且

则

(1)

其中π2是满足式(1)的最佳常数因子[1].不等式(1)通常被称为Hilbert型不等式,在分析学及其应用领域有着重要的作用[2].近年来，通过引进参数，研究者们给出了式(1)及其对应级数形式的一些推广和改进，取得了一系列有价值的成果[3-13].

最近，周昱等[14]证明了一个类似于式(1)并与Euler数有关的不等式，即

(2)

其中λ>0,E0=1,En(n∈N+)是Euler数，即E1=1,E2=5,E3=61,E4=1385，….

作为式(2)的推广，本文将建立一个常数因子与余割函数有关的Hilbert型不等式.

1定义及引理

定义1[15]对于a>0，定义

为第2型欧拉积分，即Γ函数.特别地，当a∈Z+时，Γ(a)=(a-1)！.

引理1设λ,α,β>0,且α+β=λ,n为非负整数，φ(x)=cscx,则

证明由φ(x)=cscx的部分分式展开形式(见文献[15],P397)：

(3)

式(3)两边关于x求2n阶导数，得

φ(2n)(x)=(2n)！·

(4)

由此，证得引理1成立.

引理2n为非负整数,E0=1,En(n∈N+)是Euler数,φ(x)=cscx,则

(5)

而由文献[16]，可知

(6)

由式(5)和(6),可知引理2成立.

引理3设λ,α,β>0,且α+β=λ,n为非负整数,φ(x)=cscx,则

证明当t∈[0,1)时，

故

因此,

(7)

(8)

结合式(7)和(8)，并利用引理1,可得引理3.类似地，有

引理4设λ,α,β>0,且α+β=λ,n为非负整数,φ(x)=cscx,则

(9)

令ε→0+，由引理4，可得

(10)

由式(9)和(10)，即得引理5.

2定理

则

(11)

证明由Hölder不等式，可知

(12)

若式(12)取等号，则有不全为0的实数A与B,使得

a.e.于(0,∞)×(0,∞)(参见文献[17])，即

Axp(1-α)fp(x)=Byq(1-β)gq(y).

a.e.于(0,∞)×(0,∞).于是，有常数C，使得

Axp(1-α)fp(x)=C,a.e.于(0,∞)；

Byq(1-β)gq(y)=C,a.e.于(0,∞).

通过变量替换，结合α……