引例探究高考中的归纳推理题

◇河北王艳春

归纳推理是合情推理,是数学的基本思维过程,也是人们在学习和生活中经常运用的思维方式．在解决问题的过程中,归纳推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用．因此归纳推理是中学数学的重要内容,也是高考数学的重点内容．通过对归纳推理的考查,点燃学生创新思维的火花,培养学生的创新品质．归纳推理是对有限资料进行观察、分析,再凭借个人的经验和直觉等发现某些相同性质,进而得出一般结论,即归纳推理是由特殊到一般的推理．本文将通过实例探究归纳推理在高考中的考查方式．

……

据此规律,第n个等式可为________.

等号右边首项分母分别是2、3、4,末项分母分别是2、4、6,由此猜测第n个等式的右边是

所以我们推得第n个等式可为

3) 通常归纳的个别情况越多,归纳的结论可靠性就越大,因此在进行归纳推理时,要尽可能地多分析特殊情况,由此发现其中的规律,从而获得一般结论．

1归纳结论的正确与否:需要进一步检验

归纳推理能力常常以列举、归纳、猜测、证明的形式考查,归纳得出的结论是否属实,还需逻辑证明和实践检验,即结论不一定可靠.

(1) 令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;

(2) 略．

下面用数学归纳法证明.

由上可知,结论对n∈N+成立.

2规律的发现：需要深入探究已知关系

数列知识里面处处充盈着归纳推理,所以数列是考查归纳推理能力的最好的载体．

A3 690;B3 660;

C1 845; D1 830

a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，a6-a5=9，a7-a6=11，a8-a7=13，…

1)a1+a3=2，a5+a7=2，a9+a11=2,…

2)a2+a4=8×1，a6+a8=24=8×3，a10+a12=40=8×5,…

通过直观观察可得:1)中各项构成一个常数列;2)各项中的常量为8,可变部分依次为1、3、5、…即奇数列.由此可得{an}的前60项和为

(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)+(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a58+a60)=2×15+8×(1+3+5+…+29)=1 830.

方法2利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解．

因为an+1+(-1)nan=2n-1,得：a2=1+a1，

a3=2-a1，a4=7-a1，a5=a1，a6=9+a1，

a7=2-a1，a8=15-a1，a9=a1，a10=17+a1，

a11=2-a1，a12=23-a1，…，a57=a1，

a58=113+a1，a59=2-a1，a60=119-a1.

所以可证明bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n-3+a4n-2+a4n-1+an+16=bn+16.

3创新问题的归纳：需要进行合理的转化

近年高考常有以“新定义”“新符号”“新运算”“新性质”等形式呈现的试题,此类试题能考查学生阅读理解能力,通过观察、归纳逐步理解题意,提取有用信息,独立探究提出解决问题的思路,渗透了归纳推理能力．

n=ak×2k+ak-1×2k-1+…+a1×21+a0×20.

当i=k时ai=1.当0≤i≤k-1时ai为0或1.

定义bn如下:在n的上述表示中,当a0、a1、a2、…、ak中等于1的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0.

(1)b2+b4+b6+b8=________;

(2) 记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是________.

2=1×21+0×20,a1=1,a0=0,b2=1;

以此类推：

3=1×21+1×20,b3=0;

4=1×22+0×21+0×20,b4=1;

5=1×22+0×21+1×20,b5=0;

6=1×22+1×21+0×20,b6=0,

7=1×22+1×21+1×20,b7=1,

8=0×23+1×22+1×21+1×20,b8=1.

所以b2+b4+b6+b8=3.

(2) 由(1)知cm的最大值为2．

归纳推理是现行普通高中数学教材中一项重要的学习内容.随着新课改的不断深入,归纳推理不但成为了数学学习中的热点与亮点,而且也成为了高考数学中的一个具有独特价值的考点.在最近几年的全国高考中涌现出了许多有关归纳推理的试题,因此应引起广大师生的重视．

(作者单位：河北省滦平县第一中学)