“杨辉三角”的拓展探究

◇湖北余智敏1何春玲2

高中数学教材人教A版《选修2-3》中用了较大篇幅介绍“杨辉三角”,主要是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容,由它可以直观看出二项式定理的性质．杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一,它的发现显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能．

“杨辉三角”将展开式中的二项式系数几何化,使之更加形象地展现在我们眼前．而三项式、四项式、五项式的相应规律却不能用“杨辉三角”来解释．因此,我们的研究还可以继续进行,而要想形象地体现出三项式乃至多项式,也要从数字规律入手.

1多项式系数的代数表示

2多项式系数的几何表示

1)an可理解为一个数轴．数轴、坐标系能够将数据与图形结合,是数与形良好的载体.n无论取何值其“一次项系数”均为1,如图1所示将坐标轴上所有整点赋予“1”．

图1

图2

2) (a+b)n,也可以做出一个坐标系,如图2所示．将x、y轴整点赋予1,而第一象限任意整点上的数等于其左边与下边的数之和．就构成了二项式系数在坐标轴上的排布表．y=-x+1上经过的2点便是(a+b)1的二项式系数．y=-x+2经过的3个点便是(a+b)2的二项式系数,故y=-x+n上的整点数字即为(a+b)n的二项式系数．另外,由于是在坐标轴上,所以每个点就可以表示为naxby(其中n为该点所赋的值,x、y为该点的坐标)．

3) 类比以上规律,(a+b+c)n可放入三维坐标系中．用x+y+z=r个平行的面去切割三维坐标系,就会产生一个切面．同样,切面上每个整数点的坐标(x,y,z)表示axbycz,将x、y、z轴整点赋予值1，每个点等于其下……