探讨函数单调性的判定方法

◇江苏鲍怡

单调性是函数的重要性质之一,在高考中以单调性为背景的问题屡见不鲜,解题的关键是先判断出函数的单调性,再应用其解题．本文从如下几个方面对单调性进行探讨.

1函数单调性定义

设定函数y=f(x) 的定义域为A,区间I⊆A．如果区间I内的任意2个自变量x1、x2,当x1f(x2), 则y=f(x)为区间I上单调减函数．总之,在区间I上,无论函数y=f(x)是单调增函数还是减函数,则称其在该区间上具有单调性．

注: 函数的单调性是在定义域内某个区间上的性质,是函数的局部性质．所以在对函数的单调性进行研究时,首先要明确所属区间．

2函数单调性的判断方法

2.1定义法

利用定义判断函数单调性时,可分3个步骤:1)求出函数的定义域; 2)在定义域内任意设定2个值x1

所以f(x1)>f(x2)．因此,函数f(x)在区间(0,+∞)内为单调减函数．同理f(x)在区间(-∞,0)内为单调减函数．

2.2组合函数法

如函数f(x)、g(x)均为区间A内的增函数,则f(x)+g(x)也是区间A内的增函数;若f(x)为区间A内的增函数,g(x)为区间A内的减函数,则f(x)-g(x)为 区间A内的增函数,g(x)-f(x)为区间A内的减函数．

2.3图象法

根据函数图象进行函数单调性的判断．具体来讲,就是在单调区间内,如果函数图象一直呈上升状态,函数就为单调增函数．而函数图象一直呈下降趋势,则函数为单调减函数．

图1

2.4复合函数法

在高中数学教材中,复合函数定义:函数y=f(g(x))是由函数y=f(t)和t=g(x)组合而成的，其中t=g(x)为内层函数,y=f(t)为外层函数．根据复合函数的单调性定义,在内、外层函数单调性不同的情况下,复合函数为单调减函数；在内、外层函数单调性相同时,复合函数为单调增函数．

对于较复杂的函数还可利用导数法来判断其单调性．总之,学会判断函数的单调性是学好函数的基础．在高考中出现的频率也非常高,只要灵活运用图象法、定义法、复合函数法、导数法等即可顺利解题．

(作者单位：江苏省苏州市第一中学)