贾朝勇，潘玉荣（蚌埠学院数理系，安徽蚌埠233030）



巧用概率方法证明不等式

贾朝勇，潘玉荣
（蚌埠学院数理系，安徽蚌埠233030）

摘要：通过实例展示了如何巧妙借助概率论的思想方法来证明不等式，其关键点是：根据待证不等式具体形式去构造适当概率模型，再应用随机事件的运算、概率的相关性质、随机变量函数的数学期望的定义、切比雪夫不等式或马尔克夫不等式等证明不等式。此种证明方法不仅为证明不等式提供了一种新思路，而且还沟通了不同数学学科之间的联系。

关键词：不等式；概率模型；随机变量；切比雪夫不等式；马尔克夫不等式

不论是在初等数学还是在高等数学中，不等式证明都是一个重要的知识点，也是难点。不等式的证明常见方法有比较法、分析法、放缩法、反证法和构造函数法（导数法）等，但对于一些特殊不等式的证明用这些方法可能很难证明出来，此时可借助其他数学学科的知识来证明，其中用概率方法证明不等式，是概率论的一个重要研究方向［1］。已有学者用概率方法证明一些关系式，例如，刘军、张晓梅等研究了用概率方法证明某些等式［2-3］；刘敬、汤茂林等研究了用概率论中数学期望或数学期望相关的不等式去证明不等式［4-5］。本文将利用两类概率方法证明不等式，其中第1类是根据不等式的特点构造合适的概率模型，利用随机事件的运算、概率的性质、随机变量的数学期望性质等证明不等式；第2类是根据不等式的特点利用概率论中的重要不等式：切比雪夫不等式、马尔克夫不等式去证明不等式。……