蔡勇全

近年来，高考数学试题中有一位“常客”，形如“已知两个正实数x，y，满足ax+by=cxy，求Ax+By的最值.其中，a，b，c，A，B∈R+”.此类题目看似小巧精致，实则内涵丰富，因考查考生对学科内知识的综合运用能力和对多种数学思想方法的掌握程度而备受命题者的青睐.下面以一道高考题为例，向同学们展示这类题目的七种解法.

例题 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值为

A. B. C.5 D.6

解 （解法1：分式代换）由x+3y=5xy，可得+=1.令=，=，其中a，b∈R+，则x=，y=，3x+4y=+=+·（+）≥+×2=5，当且仅当=，即b=a时等号成立，此时x=1，y=.

所以，3x+4y的最小值为5.选C.

小结 当条件中含有xi=1时，可设xi=，其中i=1，2，…，n，n∈.

（解法2：对条件式进行因式分解，再对目标式实施配凑技巧）由x+3y=5xy变形，得（x-）（5y-1）=，即（3x-）（4y-）=，所以3x+4y=（3x-）+（4y-）+≥2+=5，当且仅当3x-=4y-，即x=1，y=时等号成立.

所以，3x+4y的最小值为5.选C.

小结 解法2用到如下结论：若Ax+By+Cxy=0（A，B，C均为非零常数），则（x+）（Cy+A）=.

（解法3：消元代入后进行分母代换）由x+3y=5xy，可得x =.由x>0，可知y>.

3x+4y=+4y=.令5y-1= t，则y=，且t>0.于是可得3x+4y===++≥+2=5，当且仅当=，即t=时等号成立，此时x=1，y=.

所以，3x+4y的最小值为5.选C.

小结 在解法3中，对也可不进行分母代换而直接分离系数，再利用基本不等式求得结果.但是，这种解法需要解题者具有整体性视野，而且运算量较大.

（解法4：整体代换并结合判别式法）令3x+4y=k，则x=-.将其代入x+3y=5xy，整理得20y2+（5-5k）y+k=0.依题意，该方程的根为正实数，所以Δ=（5-5k）2-80k≥0，且->0，解得k≥5.

所以，3x+4y的最小值为5.选C.

小结 实施整体代换，也可以这样处理：令3x+4y=k.由x+3y=5xy，可得（3x+4y）（x+3y）=5kxy.分离参数，得k===·（++13）≥（2+13）=5，当且仅当=，即x=2y时等号成立，此时x=1，y=.

（解法5：三角代换）由x+3y=5xy，可得+=1.令=sin2α，=cos2α，α∈（0，），则x=，y=，3x+4y=·+·=·+·=+·tan2α+≥+2=5，当且仅当tan2α=，即tan2α=时等号成立，此时x=1，y=.

所以，3x+4y的最小值为5.选C.

小结 利用sin2α+cos2α=1进行代换是最常见的三角代换方式之一.三角代换的常用方法还有：若+=1，则可设x=acos θ，y=bsin θ；……