王高波

摘要：分段函数是高考数学的热门题型之一，也是高考重要的失分点.但当前教材中对于分段函数并未给予系统的介绍和研究，导致学生对这部分函数知识的认识普遍较为肤浅，严重影响了高考数学成绩的发挥.鉴于此，本文就分段函数教学进行深入分析和探讨.

关键词：分段函数 数学教学 数学思想 单调性

分段函数是函数的重要组成部分.在学习函数的“极限”、“导数”等内容时，均会用到分段函数的知识.但由于分段函数具有独特的性质及特点，学习时普遍存在较大的理解难度，教学中如果处理不当，极易造成学生对函数概念的混淆，甚至影响后续函数知识的学习.因此，教师加强对分段函数的教学关注度，积极制定有效的分段函数教学策略是很有必要的.

一、直观切入，引入分段函数概念

在讲解分段函数时，可以采用“四步法”引入教学内容.首先，观察分段函数的几何图形，让学生对分段函数有一个直观认识.其次，观察分段函数的解析表达式，如y=x x>00 x=0-x x<0，让学生了解分段函数的基本形式.再次，根据上述观察结果，对学生进行启发引导.比如，分段函数的图象都是一段一段的，部分图象的段与段之间还存在跳跃或间断；分段函数解析式至少有两个表达式，并且分别要标明自变量的取值范围.最后，对概念进行归纳总结，得出分段函数的准确定义：在定义域内不同取值范围内用不同的数学解析表达式来表示的函数.

二、联系生活实际，激发学生的学习兴趣

分段函数在日常生活中有着广泛的应用.因此，教师可以采用课内外相结合的方式，让学生利用课外时间，借助网络、课外书等渠道，搜集有关分段函数的生活化问题，让学生亲自参与到数学过程中，在激发学习兴趣的同时，提高运用数学知识解决生活实际问题的能力.例如，如何表示阶梯式电价，便是分段函数在生活中的一个具体应用.以湖南省为例，当每月电量低于210度时，按每月0.5469元收费；当每月电量在210～400度之间时，按每度0.5969元收费；当每月电量高于400度时，按每度0.8469元收费.教师可以让学生把电费的计价标准写成分段函数的形式，然后粗略计算自己家每个月的电费是多少，从而激发学生的兴趣，提高学生的课堂参与度.此外，出租车的阶段计费方式、银行的分段计息方法，都是分段函数在生活中的典型应用，可以为教师教学提供“鲜活”的素材.

三、深入挖掘，掌握数学思想方法

分段函数，既能用图象法表示，又能用解析法表示.在解决实际问题时，数形结合思想是非常有效的思路.在分段函数的教学中，教师应有意识地引导学生掌握、使用数形结合思想，增强学生的解题能力.首先是“由数想形”.分析分段函数的结构，画出其对应的几何图形，再根据几何图形的规律、特征解决分段函数问题.这种做法，能够把抽象的数量关系转变为直观的几何图形，能够更加清晰地揭示其内在联系，同时还能减少运算量.其次是“见形思数”.从分段函数的图形表现来构造与其对应的函数关系，进而化难为易，找到更简单的解题方法.

四、问题引领思考，加深学生的认识

问题1：分段函数是不是多个函数？在其定义域内，分段函数并不是多个函数，而是一个函数，其图象只有一个.分段函数的定义域是各个子定义域的并集，在不同的区间内采用不同的解析式表示，分段函数的值域是隔断函数解析式值域的并集.

问题2：分段函数包括哪些基本类型？分段函数主要包括两种类型，一种是分段点两边的函数解析式相同，但分段点的函数值有单独定义；二是分段点两边的函数解析式不同.

问题3：分段函数的分段点可有多少个？分段函数的分段点，可是有限个的，也可是无限个的.

问题4：怎样判断分段函数的单调性？分段函数单调性问题的解答，如果能够借助函数图象，往往能够快速解答出分段函数的单调区间，或分段函数的单调性.同时，分段函数单调性问题的讨论，必须也对自变量的取值进行讨论.

总之，分段函数的学习是函数中的一个重难点，也是考核的重点.在教学过程中，教师应指导学生掌握各种解题办法，寻找最佳解题思路，熟练应用数学思想.同时，分段函数的教学，不但要传授知识，还要引导学生积极参与实践运用，强化学生的科学探究意识，培养并提高学生的数学素养.

参考文献

许雁琴.分段函数的积分运算[J].高等函授学报（自然科学版），2012（05）.